Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100036 / 99924
↖ ↑ ↗
← S 68.224599°
E 94.757080°		 ← 113.28 m → S 68.224599°
E 94.759826°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 68.225618°
E 94.757080°		 ← 113.27 m →
12 832 m²		 S 68.225618°
E 94.759826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763217926025391 y=0.762363433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763217926025391 × 217)
    floor (0.763217926025391 × 131072)
    floor (100036.5)     		tx = 100036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762363433837891 × 217)
    floor (0.762363433837891 × 131072)
    floor (99924.5)     		ty = 99924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100036 / 99924 ti = "17/100036/99924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100036/99924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100036 ÷ 217
    100036 ÷ 131072     		x = 0.763214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99924 ÷ 217
    99924 ÷ 131072     		y = 0.762359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763214111328125 × 2 - 1) × π
    0.52642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65382304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762359619140625 × 2 - 1) × π
    -0.52471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64845410413449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65382304} λ = 1.65382304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64845410413449))-π/2
    2×atan(0.192347027378621)-π/2
    2×0.190026219892992-π/2
    0.380052439785984-1.57079632675     		φ = -1.19074389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65382304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.757080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19074389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.224599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100036 KachelY 99924 1.65382304 -1.19074389 94.757080 -68.224599
    Oben rechts KachelX + 1 100037 KachelY 99924 1.65387097 -1.19074389 94.759826 -68.224599
    Unten links KachelX 100036 KachelY + 1 99925 1.65382304 -1.19076167 94.757080 -68.225618
    Unten rechts KachelX + 1 100037 KachelY + 1 99925 1.65387097 -1.19076167 94.759826 -68.225618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19074389--1.19076167) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19074389--1.19076167) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65382304-1.65387097) × cos(-1.19074389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370969165100039 × 6371000     		do = 113.279897322422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65382304-1.65387097) × cos(-1.19076167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370952653730024 × 6371000     		du = 113.274855376957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19074389)-sin(-1.19076167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370969165100039-0.370952653730024)×R²
    abs(1.65387097-1.65382304)×1.6511370015071e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6511370015071e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6511370015071e-05×40589641000000     		ar = 12831.6511290325m²