Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100032 / 97783
↖ ↑ ↗
← S 65.936394°
E 94.746094°		 ← 124.54 m → S 65.936394°
E 94.748841°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.937515°
E 94.746094°		 ← 124.53 m →
15 511 m²		 S 65.937515°
E 94.748841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763187408447266 y=0.746028900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763187408447266 × 217)
    floor (0.763187408447266 × 131072)
    floor (100032.5)     		tx = 100032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746028900146484 × 217)
    floor (0.746028900146484 × 131072)
    floor (97783.5)     		ty = 97783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100032 / 97783 ti = "17/100032/97783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100032/97783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100032 ÷ 217
    100032 ÷ 131072     		x = 0.76318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97783 ÷ 217
    97783 ÷ 131072     		y = 0.746025085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76318359375 × 2 - 1) × π
    0.5263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65363129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746025085449219 × 2 - 1) × π
    -0.492050170898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.54582120204795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65363129} λ = 1.65363129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54582120204795))-π/2
    2×atan(0.213136770983593)-π/2
    2×0.209994573135232-π/2
    0.419989146270464-1.57079632675     		φ = -1.15080718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65363129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15080718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.936394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100032 KachelY 97783 1.65363129 -1.15080718 94.746094 -65.936394
    Oben rechts KachelX + 1 100033 KachelY 97783 1.65367923 -1.15080718 94.748841 -65.936394
    Unten links KachelX 100032 KachelY + 1 97784 1.65363129 -1.15082673 94.746094 -65.937515
    Unten rechts KachelX + 1 100033 KachelY + 1 97784 1.65367923 -1.15082673 94.748841 -65.937515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15080718--1.15082673) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15080718--1.15082673) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65363129-1.65367923) × cos(-1.15080718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407750543094008 × 6371000     		do = 124.537511359808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65363129-1.65367923) × cos(-1.15082673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407732692040787 × 6371000     		du = 124.532059188668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15080718)-sin(-1.15082673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407750543094008-0.407732692040787)×R²
    abs(1.65367923-1.65363129)×1.78510532212184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78510532212184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78510532212184e-05×40589641000000     		ar = 15511.1873375732m²