Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10003 / 2349
↖ ↑ ↗
← N 77.855723°
E 39.792480°		 ← 514 m → N 77.855723°
E 39.814453°		 →
↑
514.08 m
↓
↑
514.08 m
↓
N 77.851100°
E 39.792480°		 ← 514.20 m →
264 286 m²		 N 77.851100°
E 39.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610565185546875 y=0.143402099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610565185546875 × 214)
    floor (0.610565185546875 × 16384)
    floor (10003.5)     		tx = 10003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143402099609375 × 214)
    floor (0.143402099609375 × 16384)
    floor (2349.5)     		ty = 2349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10003 / 2349 ti = "14/10003/2349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10003/2349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10003 ÷ 214
    10003 ÷ 16384     		x = 0.61053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2349 ÷ 214
    2349 ÷ 16384     		y = 0.14337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61053466796875 × 2 - 1) × π
    0.2210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69450980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14337158203125 × 2 - 1) × π
    0.7132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2407624358399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69450980} λ = 0.69450980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2407624358399))-π/2
    2×atan(9.40049583077767)-π/2
    2×1.46481751720411-π/2
    2.92963503440821-1.57079632675     		φ = 1.35883871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69450980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.792480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35883871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.855723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10003 KachelY 2349 0.69450980 1.35883871 39.792480 77.855723
    Oben rechts KachelX + 1 10004 KachelY 2349 0.69489330 1.35883871 39.814453 77.855723
    Unten links KachelX 10003 KachelY + 1 2350 0.69450980 1.35875802 39.792480 77.851100
    Unten rechts KachelX + 1 10004 KachelY + 1 2350 0.69489330 1.35875802 39.814453 77.851100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35883871-1.35875802) × R
    8.06899999998834e-05 × 6371000     		dl = 514.075989999257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35883871-1.35875802) × R
    8.06899999998834e-05 × 6371000     		dr = 514.075989999257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69450980-0.69489330) × cos(1.35883871) × R
    0.000383500000000092 × 0.210374108931304 × 6371000     		do = 514.002537308636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69450980-0.69489330) × cos(1.35875802) × R
    0.000383500000000092 × 0.210452992481326 × 6371000     		du = 514.195271790409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35883871)-sin(1.35875802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210374108931304-0.210452992481326)×R²
    abs(0.69489330-0.69450980)×7.88835500221408e-05×R²
    0.000383500000000092×7.88835500221408e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.88835500221408e-05×40589641000000     		ar = 264285.903457735m²