Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10003 / 2348
↖ ↑ ↗
← N 77.860345°
E 39.792480°		 ← 513.81 m → N 77.860345°
E 39.814453°		 →
↑
513.88 m
↓
↑
513.88 m
↓
N 77.855723°
E 39.792480°		 ← 514 m →
264 089 m²		 N 77.855723°
E 39.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610565185546875 y=0.143341064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610565185546875 × 214)
    floor (0.610565185546875 × 16384)
    floor (10003.5)     		tx = 10003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143341064453125 × 214)
    floor (0.143341064453125 × 16384)
    floor (2348.5)     		ty = 2348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10003 / 2348 ti = "14/10003/2348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10003/2348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10003 ÷ 214
    10003 ÷ 16384     		x = 0.61053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2348 ÷ 214
    2348 ÷ 16384     		y = 0.143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61053466796875 × 2 - 1) × π
    0.2210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69450980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143310546875 × 2 - 1) × π
    0.71337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24114593103687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69450980} λ = 0.69450980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24114593103687))-π/2
    2×atan(9.40410156712491)-π/2
    2×1.46485784837387-π/2
    2.92971569674774-1.57079632675     		φ = 1.35891937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69450980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.792480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35891937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.860345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10003 KachelY 2348 0.69450980 1.35891937 39.792480 77.860345
    Oben rechts KachelX + 1 10004 KachelY 2348 0.69489330 1.35891937 39.814453 77.860345
    Unten links KachelX 10003 KachelY + 1 2349 0.69450980 1.35883871 39.792480 77.855723
    Unten rechts KachelX + 1 10004 KachelY + 1 2349 0.69489330 1.35883871 39.814453 77.855723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35891937-1.35883871) × R
    8.06600000000657e-05 × 6371000     		dl = 513.884860000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35891937-1.35883871) × R
    8.06600000000657e-05 × 6371000     		dr = 513.884860000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69450980-0.69489330) × cos(1.35891937) × R
    0.000383500000000092 × 0.210295253340699 × 6371000     		do = 513.809871139507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69450980-0.69489330) × cos(1.35883871) × R
    0.000383500000000092 × 0.210374108931304 × 6371000     		du = 514.002537308636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35891937)-sin(1.35883871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210295253340699-0.210374108931304)×R²
    abs(0.69489330-0.69450980)×7.8855590604332e-05×R²
    0.000383500000000092×7.8855590604332e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.8855590604332e-05×40589641000000     		ar = 264088.617954525m²