Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10003 / 10323
↖ ↑ ↗
← S 42.342305°
E 39.792480°		 ← 1 805.91 m → S 42.342305°
E 39.814453°		 →
↑
1 805.67 m
↓
↑
1 805.67 m
↓
S 42.358544°
E 39.792480°		 ← 1 805.44 m →
3 260 454 m²		 S 42.358544°
E 39.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610565185546875 y=0.630096435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610565185546875 × 214)
    floor (0.610565185546875 × 16384)
    floor (10003.5)     		tx = 10003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630096435546875 × 214)
    floor (0.630096435546875 × 16384)
    floor (10323.5)     		ty = 10323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10003 / 10323 ti = "14/10003/10323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10003/10323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10003 ÷ 214
    10003 ÷ 16384     		x = 0.61053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10323 ÷ 214
    10323 ÷ 16384     		y = 0.63006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61053466796875 × 2 - 1) × π
    0.2210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69450980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63006591796875 × 2 - 1) × π
    -0.2601318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.817228264722717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69450980} λ = 0.69450980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817228264722717))-π/2
    2×atan(0.441654107835909)-π/2
    2×0.415891843408245-π/2
    0.831783686816491-1.57079632675     		φ = -0.73901264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69450980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.792480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73901264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.342305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10003 KachelY 10323 0.69450980 -0.73901264 39.792480 -42.342305
    Oben rechts KachelX + 1 10004 KachelY 10323 0.69489330 -0.73901264 39.814453 -42.342305
    Unten links KachelX 10003 KachelY + 1 10324 0.69450980 -0.73929606 39.792480 -42.358544
    Unten rechts KachelX + 1 10004 KachelY + 1 10324 0.69489330 -0.73929606 39.814453 -42.358544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73901264--0.73929606) × R
    0.000283420000000034 × 6371000     		dl = 1805.66882000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73901264--0.73929606) × R
    0.000283420000000034 × 6371000     		dr = 1805.66882000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69450980-0.69489330) × cos(-0.73901264) × R
    0.000383500000000092 × 0.73913396357484 × 6371000     		do = 1805.91012182262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69450980-0.69489330) × cos(-0.73929606) × R
    0.000383500000000092 × 0.738943033955681 × 6371000     		du = 1805.44362758912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73901264)-sin(-0.73929606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73913396357484-0.738943033955681)×R²
    abs(0.69489330-0.69450980)×0.000190929619159008×R²
    0.000383500000000092×0.000190929619159008×6371000²
    0.000383500000000092×0.000190929619159008×40589641000000     		ar = 3260454.45347624m²