Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10003 / 10295
↖ ↑ ↗
← S 41.885921°
E 39.792480°		 ← 1 818.96 m → S 41.885921°
E 39.814453°		 →
↑
1 818.73 m
↓
↑
1 818.73 m
↓
S 41.902277°
E 39.792480°		 ← 1 818.50 m →
3 307 775 m²		 S 41.902277°
E 39.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610565185546875 y=0.628387451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610565185546875 × 214)
    floor (0.610565185546875 × 16384)
    floor (10003.5)     		tx = 10003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628387451171875 × 214)
    floor (0.628387451171875 × 16384)
    floor (10295.5)     		ty = 10295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10003 / 10295 ti = "14/10003/10295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10003/10295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10003 ÷ 214
    10003 ÷ 16384     		x = 0.61053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10295 ÷ 214
    10295 ÷ 16384     		y = 0.62835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61053466796875 × 2 - 1) × π
    0.2210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69450980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.2567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806490399207825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69450980} λ = 0.69450980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806490399207825))-π/2
    2×atan(0.446422083377113)-π/2
    2×0.419874547320278-π/2
    0.839749094640556-1.57079632675     		φ = -0.73104723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69450980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.792480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73104723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.885921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10003 KachelY 10295 0.69450980 -0.73104723 39.792480 -41.885921
    Oben rechts KachelX + 1 10004 KachelY 10295 0.69489330 -0.73104723 39.814453 -41.885921
    Unten links KachelX 10003 KachelY + 1 10296 0.69450980 -0.73133270 39.792480 -41.902277
    Unten rechts KachelX + 1 10004 KachelY + 1 10296 0.69489330 -0.73133270 39.814453 -41.902277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73104723--0.73133270) × R
    0.000285469999999899 × 6371000     		dl = 1818.72936999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73104723--0.73133270) × R
    0.000285469999999899 × 6371000     		dr = 1818.72936999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69450980-0.69489330) × cos(-0.73104723) × R
    0.000383500000000092 × 0.744475627971783 × 6371000     		do = 1818.96129559789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69450980-0.69489330) × cos(-0.73133270) × R
    0.000383500000000092 × 0.744285003697341 × 6371000     		du = 1818.49554740657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73104723)-sin(-0.73133270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744475627971783-0.744285003697341)×R²
    abs(0.69489330-0.69450980)×0.000190624274442275×R²
    0.000383500000000092×0.000190624274442275×6371000²
    0.000383500000000092×0.000190624274442275×40589641000000     		ar = 3307774.81870373m²