Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10002 / 2347
↖ ↑ ↗
← N 77.864964°
E 39.770508°		 ← 513.60 m → N 77.864964°
E 39.792480°		 →
↑
513.69 m
↓
↑
513.69 m
↓
N 77.860345°
E 39.770508°		 ← 513.80 m →
263 885 m²		 N 77.860345°
E 39.792480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610504150390625 y=0.143280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610504150390625 × 214)
    floor (0.610504150390625 × 16384)
    floor (10002.5)     		tx = 10002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143280029296875 × 214)
    floor (0.143280029296875 × 16384)
    floor (2347.5)     		ty = 2347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10002 / 2347 ti = "14/10002/2347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10002/2347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10002 ÷ 214
    10002 ÷ 16384     		x = 0.6104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2347 ÷ 214
    2347 ÷ 16384     		y = 0.14324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6104736328125 × 2 - 1) × π
    0.220947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69412631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14324951171875 × 2 - 1) × π
    0.7135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24152942623383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69412631} λ = 0.69412631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24152942623383))-π/2
    2×atan(9.40770868651991)-π/2
    2×1.46489816442553-π/2
    2.92979632885105-1.57079632675     		φ = 1.35900000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69412631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.770508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35900000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.864964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10002 KachelY 2347 0.69412631 1.35900000 39.770508 77.864964
    Oben rechts KachelX + 1 10003 KachelY 2347 0.69450980 1.35900000 39.792480 77.864964
    Unten links KachelX 10002 KachelY + 1 2348 0.69412631 1.35891937 39.770508 77.860345
    Unten rechts KachelX + 1 10003 KachelY + 1 2348 0.69450980 1.35891937 39.792480 77.860345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35900000-1.35891937) × R
    8.0630000000026e-05 × 6371000     		dl = 513.693730000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35900000-1.35891937) × R
    8.0630000000026e-05 × 6371000     		dr = 513.693730000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69412631-0.69450980) × cos(1.35900000) × R
    0.000383489999999931 × 0.210216425711553 × 6371000     		do = 513.60388039931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69412631-0.69450980) × cos(1.35891937) × R
    0.000383489999999931 × 0.210295253340699 × 6371000     		du = 513.796473228701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35900000)-sin(1.35891937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210216425711553-0.210295253340699)×R²
    abs(0.69450980-0.69412631)×7.88276291463774e-05×R²
    0.000383489999999931×7.88276291463774e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.88276291463774e-05×40589641000000     		ar = 263884.560071547m²