Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100019 / 99634
↖ ↑ ↗
← S 67.927205°
E 94.710388°		 ← 114.77 m → S 67.927205°
E 94.713135°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
S 67.928237°
E 94.710388°		 ← 114.77 m →
13 169 m²		 S 67.928237°
E 94.713135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763088226318359 y=0.760150909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763088226318359 × 217)
    floor (0.763088226318359 × 131072)
    floor (100019.5)     		tx = 100019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760150909423828 × 217)
    floor (0.760150909423828 × 131072)
    floor (99634.5)     		ty = 99634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100019 / 99634 ti = "17/100019/99634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100019/99634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100019 ÷ 217
    100019 ÷ 131072     		x = 0.763084411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99634 ÷ 217
    99634 ÷ 131072     		y = 0.760147094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763084411621094 × 2 - 1) × π
    0.526168823242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.65300811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760147094726562 × 2 - 1) × π
    -0.520294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63455240324467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65300811} λ = 1.65300811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63455240324467))-π/2
    2×atan(0.19503965087959)-π/2
    2×0.192621475561338-π/2
    0.385242951122677-1.57079632675     		φ = -1.18555338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65300811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.710388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18555338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.927205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100019 KachelY 99634 1.65300811 -1.18555338 94.710388 -67.927205
    Oben rechts KachelX + 1 100020 KachelY 99634 1.65305605 -1.18555338 94.713135 -67.927205
    Unten links KachelX 100019 KachelY + 1 99635 1.65300811 -1.18557139 94.710388 -67.928237
    Unten rechts KachelX + 1 100020 KachelY + 1 99635 1.65305605 -1.18557139 94.713135 -67.928237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18555338--1.18557139) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18555338--1.18557139) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65300811-1.65305605) × cos(-1.18555338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375784288370679 × 6371000     		do = 114.774194355913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65300811-1.65305605) × cos(-1.18557139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375767598313703 × 6371000     		du = 114.76909678291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18555338)-sin(-1.18557139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375784288370679-0.375767598313703)×R²
    abs(1.65305605-1.65300811)×1.66900569752437e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66900569752437e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66900569752437e-05×40589641000000     		ar = 13169.0948724176m²