Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100017 / 98161
↖ ↑ ↗
← S 66.356238°
E 94.704895°		 ← 122.47 m → S 66.356238°
E 94.707641°		 →
↑
122.45 m
↓
↑
122.45 m
↓
S 66.357339°
E 94.704895°		 ← 122.46 m →
14 996 m²		 S 66.357339°
E 94.707641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763072967529297 y=0.748912811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763072967529297 × 217)
    floor (0.763072967529297 × 131072)
    floor (100017.5)     		tx = 100017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748912811279297 × 217)
    floor (0.748912811279297 × 131072)
    floor (98161.5)     		ty = 98161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100017 / 98161 ti = "17/100017/98161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100017/98161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100017 ÷ 217
    100017 ÷ 131072     		x = 0.763069152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98161 ÷ 217
    98161 ÷ 131072     		y = 0.748908996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763069152832031 × 2 - 1) × π
    0.526138305664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.65291224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748908996582031 × 2 - 1) × π
    -0.497817993164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.56394135010433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65291224} λ = 1.65291224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56394135010433))-π/2
    2×atan(0.20930948138458)-π/2
    2×0.206330749501791-π/2
    0.412661499003583-1.57079632675     		φ = -1.15813483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65291224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.704895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15813483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.356238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100017 KachelY 98161 1.65291224 -1.15813483 94.704895 -66.356238
    Oben rechts KachelX + 1 100018 KachelY 98161 1.65296017 -1.15813483 94.707641 -66.356238
    Unten links KachelX 100017 KachelY + 1 98162 1.65291224 -1.15815405 94.704895 -66.357339
    Unten rechts KachelX + 1 100018 KachelY + 1 98162 1.65296017 -1.15815405 94.707641 -66.357339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15813483--1.15815405) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dl = 122.450619999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15813483--1.15815405) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dr = 122.450619999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65291224-1.65296017) × cos(-1.15813483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401048827446408 × 6371000     		do = 122.46508407823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65291224-1.65296017) × cos(-1.15815405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401031220762975 × 6371000     		du = 122.459707665635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15813483)-sin(-1.15815405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401048827446408-0.401031220762975)×R²
    abs(1.65296017-1.65291224)×1.76066834327582e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76066834327582e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76066834327582e-05×40589641000000     		ar = 14995.5963016622m²