Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100015 / 101735
↖ ↑ ↗
← S 69.997113°
E 94.699402°		 ← 104.48 m → S 69.997113°
E 94.702149°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
S 69.998052°
E 94.699402°		 ← 104.47 m →
10 916 m²		 S 69.998052°
E 94.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763057708740234 y=0.776180267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763057708740234 × 217)
    floor (0.763057708740234 × 131072)
    floor (100015.5)     		tx = 100015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776180267333984 × 217)
    floor (0.776180267333984 × 131072)
    floor (101735.5)     		ty = 101735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100015 / 101735 ti = "17/100015/101735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100015/101735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100015 ÷ 217
    100015 ÷ 131072     		x = 0.763053894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101735 ÷ 217
    101735 ÷ 131072     		y = 0.776176452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763053894042969 × 2 - 1) × π
    0.526107788085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.65281636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776176452636719 × 2 - 1) × π
    -0.552352905273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.73526782934641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65281636} λ = 1.65281636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73526782934641))-π/2
    2×atan(0.176352961462244)-π/2
    2×0.174558122425671-π/2
    0.349116244851342-1.57079632675     		φ = -1.22168008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65281636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.699402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22168008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.997113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100015 KachelY 101735 1.65281636 -1.22168008 94.699402 -69.997113
    Oben rechts KachelX + 1 100016 KachelY 101735 1.65286430 -1.22168008 94.702149 -69.997113
    Unten links KachelX 100015 KachelY + 1 101736 1.65281636 -1.22169648 94.699402 -69.998052
    Unten rechts KachelX + 1 100016 KachelY + 1 101736 1.65286430 -1.22169648 94.702149 -69.998052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22168008--1.22169648) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22168008--1.22169648) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65281636-1.65286430) × cos(-1.22168008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342067500012782 × 6371000     		do = 104.476219321285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65281636-1.65286430) × cos(-1.22169648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3420520892905 × 6371000     		du = 104.471512490029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22168008)-sin(-1.22169648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342067500012782-0.3420520892905)×R²
    abs(1.65286430-1.65281636)×1.541072228195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.541072228195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.541072228195e-05×40589641000000     		ar = 10915.8891949637m²