Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100012 / 98162
↖ ↑ ↗
← S 66.357339°
E 94.691162°		 ← 122.49 m → S 66.357339°
E 94.693909°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
S 66.358441°
E 94.691162°		 ← 122.48 m →
15 006 m²		 S 66.358441°
E 94.693909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763034820556641 y=0.748920440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763034820556641 × 217)
    floor (0.763034820556641 × 131072)
    floor (100012.5)     		tx = 100012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748920440673828 × 217)
    floor (0.748920440673828 × 131072)
    floor (98162.5)     		ty = 98162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100012 / 98162 ti = "17/100012/98162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100012/98162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100012 ÷ 217
    100012 ÷ 131072     		x = 0.763031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98162 ÷ 217
    98162 ÷ 131072     		y = 0.748916625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763031005859375 × 2 - 1) × π
    0.52606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65267255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748916625976562 × 2 - 1) × π
    -0.497833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56398928700395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65267255} λ = 1.65267255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56398928700395))-π/2
    2×atan(0.209299447977468)-π/2
    2×0.206321137194105-π/2
    0.412642274388211-1.57079632675     		φ = -1.15815405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65267255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.691162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15815405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.357339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100012 KachelY 98162 1.65267255 -1.15815405 94.691162 -66.357339
    Oben rechts KachelX + 1 100013 KachelY 98162 1.65272049 -1.15815405 94.693909 -66.357339
    Unten links KachelX 100012 KachelY + 1 98163 1.65267255 -1.15817328 94.691162 -66.358441
    Unten rechts KachelX + 1 100013 KachelY + 1 98163 1.65272049 -1.15817328 94.693909 -66.358441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15815405--1.15817328) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15815405--1.15817328) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65267255-1.65272049) × cos(-1.15815405) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.401031220762975 × 6371000     		do = 122.485257365122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65267255-1.65272049) × cos(-1.15817328) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.401013604770677 × 6371000     		du = 122.479876987638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15815405)-sin(-1.15817328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401031220762975-0.401013604770677)×R²
    abs(1.65272049-1.65267255)×1.76159922979924e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76159922979924e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76159922979924e-05×40589641000000     		ar = 15005.8696548231m²