Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100012 / 101772
↖ ↑ ↗
← S 70.031846°
E 94.691162°		 ← 104.30 m → S 70.031846°
E 94.693909°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.032784°
E 94.691162°		 ← 104.30 m →
10 878 m²		 S 70.032784°
E 94.693909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763034820556641 y=0.776462554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763034820556641 × 217)
    floor (0.763034820556641 × 131072)
    floor (100012.5)     		tx = 100012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776462554931641 × 217)
    floor (0.776462554931641 × 131072)
    floor (101772.5)     		ty = 101772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100012 / 101772 ti = "17/100012/101772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100012/101772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100012 ÷ 217
    100012 ÷ 131072     		x = 0.763031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101772 ÷ 217
    101772 ÷ 131072     		y = 0.776458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763031005859375 × 2 - 1) × π
    0.52606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65267255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.55291748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73704149463235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65267255} λ = 1.65267255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73704149463235))-π/2
    2×atan(0.176040447565878)-π/2
    2×0.174255018478-π/2
    0.348510036956-1.57079632675     		φ = -1.22228629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65267255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.691162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22228629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.031846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100012 KachelY 101772 1.65267255 -1.22228629 94.691162 -70.031846
    Oben rechts KachelX + 1 100013 KachelY 101772 1.65272049 -1.22228629 94.693909 -70.031846
    Unten links KachelX 100012 KachelY + 1 101773 1.65267255 -1.22230266 94.691162 -70.032784
    Unten rechts KachelX + 1 100013 KachelY + 1 101773 1.65272049 -1.22230266 94.693909 -70.032784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22228629--1.22230266) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22228629--1.22230266) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65267255-1.65272049) × cos(-1.22228629) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.34149779658045 × 6371000     		do = 104.302217229368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65267255-1.65272049) × cos(-1.22230266) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.34148241065694 × 6371000     		du = 104.297517972294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22228629)-sin(-1.22230266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34149779658045-0.34148241065694)×R²
    abs(1.65272049-1.65267255)×1.53859235100251e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.53859235100251e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.53859235100251e-05×40589641000000     		ar = 10877.7742527499m²