Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100010 / 99522
↖ ↑ ↗
← S 67.811319°
E 94.685669°		 ← 115.32 m → S 67.811319°
E 94.688415°		 →
↑
115.32 m
↓
↑
115.32 m
↓
S 67.812356°
E 94.685669°		 ← 115.32 m →
13 298 m²		 S 67.812356°
E 94.688415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763019561767578 y=0.759296417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763019561767578 × 217)
    floor (0.763019561767578 × 131072)
    floor (100010.5)     		tx = 100010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759296417236328 × 217)
    floor (0.759296417236328 × 131072)
    floor (99522.5)     		ty = 99522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100010 / 99522 ti = "17/100010/99522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100010/99522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100010 ÷ 217
    100010 ÷ 131072     		x = 0.763015747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99522 ÷ 217
    99522 ÷ 131072     		y = 0.759292602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763015747070312 × 2 - 1) × π
    0.526031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65257668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759292602539062 × 2 - 1) × π
    -0.518585205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62918347048723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65257668} λ = 1.65257668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62918347048723))-π/2
    2×atan(0.196089621739516)-π/2
    2×0.193632768895553-π/2
    0.387265537791106-1.57079632675     		φ = -1.18353079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65257668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.685669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18353079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.811319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100010 KachelY 99522 1.65257668 -1.18353079 94.685669 -67.811319
    Oben rechts KachelX + 1 100011 KachelY 99522 1.65262461 -1.18353079 94.688415 -67.811319
    Unten links KachelX 100010 KachelY + 1 99523 1.65257668 -1.18354889 94.685669 -67.812356
    Unten rechts KachelX + 1 100011 KachelY + 1 99523 1.65262461 -1.18354889 94.688415 -67.812356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18353079--1.18354889) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dl = 115.315099999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18353079--1.18354889) × R
    1.80999999999099e-05 × 6371000     		dr = 115.315099999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65257668-1.65262461) × cos(-1.18353079) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377657867094307 × 6371000     		do = 115.322372941458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65257668-1.65262461) × cos(-1.18354889) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377641107424111 × 6371000     		du = 115.317255174545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18353079)-sin(-1.18354889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377657867094307-0.377641107424111)×R²
    abs(1.65262461-1.65257668)×1.67596701964312e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67596701964312e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67596701964312e-05×40589641000000     		ar = 13298.1158903996m²