Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100010 / 97768
↖ ↑ ↗
← S 65.919590°
E 94.685669°		 ← 124.59 m → S 65.919590°
E 94.688415°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
S 65.920711°
E 94.685669°		 ← 124.59 m →
15 526 m²		 S 65.920711°
E 94.688415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763019561767578 y=0.745914459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763019561767578 × 217)
    floor (0.763019561767578 × 131072)
    floor (100010.5)     		tx = 100010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745914459228516 × 217)
    floor (0.745914459228516 × 131072)
    floor (97768.5)     		ty = 97768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100010 / 97768 ti = "17/100010/97768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100010/97768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100010 ÷ 217
    100010 ÷ 131072     		x = 0.763015747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97768 ÷ 217
    97768 ÷ 131072     		y = 0.74591064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763015747070312 × 2 - 1) × π
    0.526031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65257668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.4918212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54510214855365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65257668} λ = 1.65257668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54510214855365))-π/2
    2×atan(0.213290082836638)-π/2
    2×0.210141218495055-π/2
    0.420282436990109-1.57079632675     		φ = -1.15051389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65257668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.685669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15051389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.919590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100010 KachelY 97768 1.65257668 -1.15051389 94.685669 -65.919590
    Oben rechts KachelX + 1 100011 KachelY 97768 1.65262461 -1.15051389 94.688415 -65.919590
    Unten links KachelX 100010 KachelY + 1 97769 1.65257668 -1.15053345 94.685669 -65.920711
    Unten rechts KachelX + 1 100011 KachelY + 1 97769 1.65262461 -1.15053345 94.688415 -65.920711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15051389--1.15053345) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dl = 124.616759999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15051389--1.15053345) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dr = 124.616759999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65257668-1.65262461) × cos(-1.15051389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408018326706263 × 6371000     		do = 124.593304520304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65257668-1.65262461) × cos(-1.15053345) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408000468861909 × 6371000     		du = 124.587851412701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15051389)-sin(-1.15053345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408018326706263-0.408000468861909)×R²
    abs(1.65262461-1.65257668)×1.78578443537636e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78578443537636e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78578443537636e-05×40589641000000     		ar = 15526.0741529812m²