Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10001 / 2329
↖ ↑ ↗
← N 77.947827°
E 39.748535°		 ← 510.16 m → N 77.947827°
E 39.770508°		 →
↑
510.25 m
↓
↑
510.25 m
↓
N 77.943238°
E 39.748535°		 ← 510.35 m →
260 361 m²		 N 77.943238°
E 39.770508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610443115234375 y=0.142181396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610443115234375 × 214)
    floor (0.610443115234375 × 16384)
    floor (10001.5)     		tx = 10001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142181396484375 × 214)
    floor (0.142181396484375 × 16384)
    floor (2329.5)     		ty = 2329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10001 / 2329 ti = "14/10001/2329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10001/2329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10001 ÷ 214
    10001 ÷ 16384     		x = 0.61041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2329 ÷ 214
    2329 ÷ 16384     		y = 0.14215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61041259765625 × 2 - 1) × π
    0.2208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69374281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14215087890625 × 2 - 1) × π
    0.7156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24843233977911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69374281} λ = 0.69374281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24843233977911))-π/2
    2×atan(9.47287394254512)-π/2
    2×1.46562127431306-π/2
    2.93124254862613-1.57079632675     		φ = 1.36044622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69374281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.748535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36044622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.947827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10001 KachelY 2329 0.69374281 1.36044622 39.748535 77.947827
    Oben rechts KachelX + 1 10002 KachelY 2329 0.69412631 1.36044622 39.770508 77.947827
    Unten links KachelX 10001 KachelY + 1 2330 0.69374281 1.36036613 39.748535 77.943238
    Unten rechts KachelX + 1 10002 KachelY + 1 2330 0.69412631 1.36036613 39.770508 77.943238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36044622-1.36036613) × R
    8.00899999999771e-05 × 6371000     		dl = 510.253389999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36044622-1.36036613) × R
    8.00899999999771e-05 × 6371000     		dr = 510.253389999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69374281-0.69412631) × cos(1.36044622) × R
    0.000383499999999981 × 0.208802302332006 × 6371000     		do = 510.162176038266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69374281-0.69412631) × cos(1.36036613) × R
    0.000383499999999981 × 0.208880626308184 × 6371000     		du = 510.353543325295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36044622)-sin(1.36036613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208802302332006-0.208880626308184)×R²
    abs(0.69412631-0.69374281)×7.83239761776577e-05×R²
    0.000383499999999981×7.83239761776577e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.83239761776577e-05×40589641000000     		ar = 260360.80281503m²