Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100009 / 97765
↖ ↑ ↗
← S 65.916228°
E 94.682922°		 ← 124.64 m → S 65.916228°
E 94.685669°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
S 65.917349°
E 94.682922°		 ← 124.63 m →
15 531 m²		 S 65.917349°
E 94.685669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763011932373047 y=0.745891571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763011932373047 × 217)
    floor (0.763011932373047 × 131072)
    floor (100009.5)     		tx = 100009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745891571044922 × 217)
    floor (0.745891571044922 × 131072)
    floor (97765.5)     		ty = 97765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100009 / 97765 ti = "17/100009/97765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100009/97765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100009 ÷ 217
    100009 ÷ 131072     		x = 0.763008117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97765 ÷ 217
    97765 ÷ 131072     		y = 0.745887756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763008117675781 × 2 - 1) × π
    0.526016235351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.65252874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745887756347656 × 2 - 1) × π
    -0.491775512695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.54495833785479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65252874} λ = 1.65252874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54495833785479))-π/2
    2×atan(0.213320758438198)-π/2
    2×0.210170559121509-π/2
    0.420341118243017-1.57079632675     		φ = -1.15045521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65252874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.682922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15045521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.916228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100009 KachelY 97765 1.65252874 -1.15045521 94.682922 -65.916228
    Oben rechts KachelX + 1 100010 KachelY 97765 1.65257668 -1.15045521 94.685669 -65.916228
    Unten links KachelX 100009 KachelY + 1 97766 1.65252874 -1.15047477 94.682922 -65.917349
    Unten rechts KachelX + 1 100010 KachelY + 1 97766 1.65257668 -1.15047477 94.685669 -65.917349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15045521--1.15047477) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dl = 124.616759999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15045521--1.15047477) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dr = 124.616759999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65252874-1.65257668) × cos(-1.15045521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408071899302665 × 6371000     		do = 124.63566181764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65252874-1.65257668) × cos(-1.15047477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408054041926648 × 6371000     		du = 124.630207715356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15045521)-sin(-1.15047477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408071899302665-0.408054041926648)×R²
    abs(1.65257668-1.65252874)×1.78573760176715e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78573760176715e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78573760176715e-05×40589641000000     		ar = 15531.3525203591m²