Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100008 / 101770
↖ ↑ ↗
← S 70.029970°
E 94.680176°		 ← 104.31 m → S 70.029970°
E 94.682922°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.030908°
E 94.680176°		 ← 104.31 m →
10 879 m²		 S 70.030908°
E 94.682922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763004302978516 y=0.776447296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763004302978516 × 217)
    floor (0.763004302978516 × 131072)
    floor (100008.5)     		tx = 100008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776447296142578 × 217)
    floor (0.776447296142578 × 131072)
    floor (101770.5)     		ty = 101770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100008 / 101770 ti = "17/100008/101770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100008/101770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100008 ÷ 217
    100008 ÷ 131072     		x = 0.76300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101770 ÷ 217
    101770 ÷ 131072     		y = 0.776443481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76300048828125 × 2 - 1) × π
    0.5260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65248080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776443481445312 × 2 - 1) × π
    -0.552886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73694562083311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65248080} λ = 1.65248080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73694562083311))-π/2
    2×atan(0.176057326041495)-π/2
    2×0.174271389561188-π/2
    0.348542779122376-1.57079632675     		φ = -1.22225355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65248080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22225355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.029970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100008 KachelY 101770 1.65248080 -1.22225355 94.680176 -70.029970
    Oben rechts KachelX + 1 100009 KachelY 101770 1.65252874 -1.22225355 94.682922 -70.029970
    Unten links KachelX 100008 KachelY + 1 101771 1.65248080 -1.22226992 94.680176 -70.030908
    Unten rechts KachelX + 1 100009 KachelY + 1 101771 1.65252874 -1.22226992 94.682922 -70.030908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22225355--1.22226992) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22225355--1.22226992) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65248080-1.65252874) × cos(-1.22225355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341528568152925 × 6371000     		do = 104.311615659179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65248080-1.65252874) × cos(-1.22226992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341513182412446 × 6371000     		du = 104.306916458008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22225355)-sin(-1.22226992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341528568152925-0.341513182412446)×R²
    abs(1.65252874-1.65248080)×1.53857404788793e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53857404788793e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53857404788793e-05×40589641000000     		ar = 10878.7544489125m²