Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100007 / 101760
↖ ↑ ↗
← S 70.020587°
E 94.677429°		 ← 104.34 m → S 70.020587°
E 94.680176°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
S 70.021526°
E 94.677429°		 ← 104.33 m →
10 888 m²		 S 70.021526°
E 94.680176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762996673583984 y=0.776371002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762996673583984 × 217)
    floor (0.762996673583984 × 131072)
    floor (100007.5)     		tx = 100007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776371002197266 × 217)
    floor (0.776371002197266 × 131072)
    floor (101760.5)     		ty = 101760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100007 / 101760 ti = "17/100007/101760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100007/101760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100007 ÷ 217
    100007 ÷ 131072     		x = 0.762992858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101760 ÷ 217
    101760 ÷ 131072     		y = 0.7763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762992858886719 × 2 - 1) × π
    0.525985717773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.65243287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    -0.552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73646625183691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65243287} λ = 1.65243287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73646625183691))-π/2
    2×atan(0.1761417426969)-π/2
    2×0.174353267108175-π/2
    0.348706534216349-1.57079632675     		φ = -1.22208979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65243287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.677429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22208979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.020587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100007 KachelY 101760 1.65243287 -1.22208979 94.677429 -70.020587
    Oben rechts KachelX + 1 100008 KachelY 101760 1.65248080 -1.22208979 94.680176 -70.020587
    Unten links KachelX 100007 KachelY + 1 101761 1.65243287 -1.22210617 94.677429 -70.021526
    Unten rechts KachelX + 1 100008 KachelY + 1 101761 1.65248080 -1.22210617 94.680176 -70.021526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22208979--1.22210617) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dl = 104.356979999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22208979--1.22210617) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dr = 104.356979999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65243287-1.65248080) × cos(-1.22208979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341682476912264 × 6371000     		do = 104.336854765421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65243287-1.65248080) × cos(-1.22210617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341667082689314 × 6371000     		du = 104.332153954251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22208979)-sin(-1.22210617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341682476912264-0.341667082689314)×R²
    abs(1.65248080-1.65243287)×1.53942229504933e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53942229504933e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53942229504933e-05×40589641000000     		ar = 10888.033784979m²