Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100002 / 101762
↖ ↑ ↗
← S 70.022464°
E 94.663696°		 ← 104.35 m → S 70.022464°
E 94.666443°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
S 70.023403°
E 94.663696°		 ← 104.34 m →
10 889 m²		 S 70.023403°
E 94.666443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762958526611328 y=0.776386260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762958526611328 × 217)
    floor (0.762958526611328 × 131072)
    floor (100002.5)     		tx = 100002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776386260986328 × 217)
    floor (0.776386260986328 × 131072)
    floor (101762.5)     		ty = 101762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100002 / 101762 ti = "17/100002/101762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100002/101762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100002 ÷ 217
    100002 ÷ 131072     		x = 0.762954711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101762 ÷ 217
    101762 ÷ 131072     		y = 0.776382446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762954711914062 × 2 - 1) × π
    0.525909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65219318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776382446289062 × 2 - 1) × π
    -0.552764892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73656212563615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65219318} λ = 1.65219318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73656212563615))-π/2
    2×atan(0.176124856128326)-π/2
    2×0.174336888647587-π/2
    0.348673777295174-1.57079632675     		φ = -1.22212255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65219318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.663696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22212255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.022464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100002 KachelY 101762 1.65219318 -1.22212255 94.663696 -70.022464
    Oben rechts KachelX + 1 100003 KachelY 101762 1.65224112 -1.22212255 94.666443 -70.022464
    Unten links KachelX 100002 KachelY + 1 101763 1.65219318 -1.22213893 94.663696 -70.023403
    Unten rechts KachelX + 1 100003 KachelY + 1 101763 1.65224112 -1.22213893 94.666443 -70.023403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22212255--1.22213893) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dl = 104.35698000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22212255--1.22213893) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dr = 104.35698000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65219318-1.65224112) × cos(-1.22212255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341651688374693 × 6371000     		do = 104.349219744022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65219318-1.65224112) × cos(-1.22213893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341636293968405 × 6371000     		du = 104.344517896089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22212255)-sin(-1.22213893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341651688374693-0.341636293968405)×R²
    abs(1.65224112-1.65219318)×1.53944062881717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53944062881717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53944062881717e-05×40589641000000     		ar = 10889.3241030168m²