Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100001 / 101727
↖ ↑ ↗
← S 69.989595°
E 94.660950°		 ← 104.49 m → S 69.989595°
E 94.663696°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
S 69.990535°
E 94.660950°		 ← 104.49 m →
10 918 m²		 S 69.990535°
E 94.663696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762950897216797 y=0.776119232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762950897216797 × 217)
    floor (0.762950897216797 × 131072)
    floor (100001.5)     		tx = 100001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776119232177734 × 217)
    floor (0.776119232177734 × 131072)
    floor (101727.5)     		ty = 101727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100001 / 101727 ti = "17/100001/101727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100001/101727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100001 ÷ 217
    100001 ÷ 131072     		x = 0.762947082519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101727 ÷ 217
    101727 ÷ 131072     		y = 0.776115417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762947082519531 × 2 - 1) × π
    0.525894165039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.65214525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776115417480469 × 2 - 1) × π
    -0.552230834960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73488433414945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65214525} λ = 1.65214525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73488433414945))-π/2
    2×atan(0.176420604945581)-π/2
    2×0.174623724866349-π/2
    0.349247449732698-1.57079632675     		φ = -1.22154888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65214525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.660950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22154888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.989595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100001 KachelY 101727 1.65214525 -1.22154888 94.660950 -69.989595
    Oben rechts KachelX + 1 100002 KachelY 101727 1.65219318 -1.22154888 94.663696 -69.989595
    Unten links KachelX 100001 KachelY + 1 101728 1.65214525 -1.22156528 94.660950 -69.990535
    Unten rechts KachelX + 1 100002 KachelY + 1 101728 1.65219318 -1.22156528 94.663696 -69.990535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22154888--1.22156528) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22154888--1.22156528) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65214525-1.65219318) × cos(-1.22154888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3421907824786 × 6371000     		do = 104.492071985018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65214525-1.65219318) × cos(-1.22156528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342175372492454 × 6371000     		du = 104.487366360366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22154888)-sin(-1.22156528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3421907824786-0.342175372492454)×R²
    abs(1.65219318-1.65214525)×1.54099861460755e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54099861460755e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54099861460755e-05×40589641000000     		ar = 10917.5456140553m²