Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100000 / 99517
↖ ↑ ↗
← S 67.806132°
E 94.658203°		 ← 115.37 m → S 67.806132°
E 94.660950°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.807170°
E 94.658203°		 ← 115.37 m →
13 311 m²		 S 67.807170°
E 94.660950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762943267822266 y=0.759258270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762943267822266 × 217)
    floor (0.762943267822266 × 131072)
    floor (100000.5)     		tx = 100000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759258270263672 × 217)
    floor (0.759258270263672 × 131072)
    floor (99517.5)     		ty = 99517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100000 / 99517 ti = "17/100000/99517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100000/99517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100000 ÷ 217
    100000 ÷ 131072     		x = 0.762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99517 ÷ 217
    99517 ÷ 131072     		y = 0.759254455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762939453125 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65209731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759254455566406 × 2 - 1) × π
    -0.518508911132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.62894378598913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65209731} λ = 1.65209731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62894378598913))-π/2
    2×atan(0.196136627015078)-π/2
    2×0.19367803328645-π/2
    0.3873560665729-1.57079632675     		φ = -1.18344026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65209731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18344026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.806132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100000 KachelY 99517 1.65209731 -1.18344026 94.658203 -67.806132
    Oben rechts KachelX + 1 100001 KachelY 99517 1.65214525 -1.18344026 94.660950 -67.806132
    Unten links KachelX 100000 KachelY + 1 99518 1.65209731 -1.18345837 94.658203 -67.807170
    Unten rechts KachelX + 1 100001 KachelY + 1 99518 1.65214525 -1.18345837 94.660950 -67.807170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18344026--1.18345837) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18344026--1.18345837) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65209731-1.65214525) × cos(-1.18344026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377741691366644 × 6371000     		do = 115.372035614433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65209731-1.65214525) × cos(-1.18345837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377724923056151 × 6371000     		du = 115.366914140792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18344026)-sin(-1.18345837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377741691366644-0.377724923056151)×R²
    abs(1.65214525-1.65209731)×1.6768310492743e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6768310492743e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6768310492743e-05×40589641000000     		ar = 13311.1927222118m²