Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10000 / 2327
↖ ↑ ↗
← N 77.956999°
E 39.726563°		 ← 509.77 m → N 77.956999°
E 39.748535°		 →
↑
509.87 m
↓
↑
509.87 m
↓
N 77.952414°
E 39.726563°		 ← 509.96 m →
259 964 m²		 N 77.952414°
E 39.748535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610382080078125 y=0.142059326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610382080078125 × 214)
    floor (0.610382080078125 × 16384)
    floor (10000.5)     		tx = 10000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142059326171875 × 214)
    floor (0.142059326171875 × 16384)
    floor (2327.5)     		ty = 2327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10000 / 2327 ti = "14/10000/2327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10000/2327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10000 ÷ 214
    10000 ÷ 16384     		x = 0.6103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2327 ÷ 214
    2327 ÷ 16384     		y = 0.14202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6103515625 × 2 - 1) × π
    0.220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69335932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14202880859375 × 2 - 1) × π
    0.7159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24919933017303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69335932} λ = 0.69335932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24919933017303))-π/2
    2×atan(9.48014233289835)-π/2
    2×1.46570131896822-π/2
    2.93140263793644-1.57079632675     		φ = 1.36060631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69335932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36060631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.956999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10000 KachelY 2327 0.69335932 1.36060631 39.726563 77.956999
    Oben rechts KachelX + 1 10001 KachelY 2327 0.69374281 1.36060631 39.748535 77.956999
    Unten links KachelX 10000 KachelY + 1 2328 0.69335932 1.36052628 39.726563 77.952414
    Unten rechts KachelX + 1 10001 KachelY + 1 2328 0.69374281 1.36052628 39.748535 77.952414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36060631-1.36052628) × R
    8.00300000001197e-05 × 6371000     		dl = 509.871130000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36060631-1.36052628) × R
    8.00300000001197e-05 × 6371000     		dr = 509.871130000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69335932-0.69374281) × cos(1.36060631) × R
    0.000383490000000042 × 0.20864573838134 × 6371000     		do = 509.766353883817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69335932-0.69374281) × cos(1.36052628) × R
    0.000383490000000042 × 0.208724006355723 × 6371000     		du = 509.957579356413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36060631)-sin(1.36052628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20864573838134-0.208724006355723)×R²
    abs(0.69374281-0.69335932)×7.82679743828174e-05×R²
    0.000383490000000042×7.82679743828174e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.82679743828174e-05×40589641000000     		ar = 259963.897203406m²