Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1000 / 983
↖ ↑ ↗
← N 79.504660°
W136.054688°		 ← 890.10 m → N 79.504660°
W136.010742°		 →
↑
890.41 m
↓
↑
890.41 m
↓
N 79.496652°
W136.054688°		 ← 890.77 m →
792 855 m²		 N 79.496652°
W136.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12213134765625 y=0.12005615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12213134765625 × 213)
    floor (0.12213134765625 × 8192)
    floor (1000.5)     		tx = 1000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12005615234375 × 213)
    floor (0.12005615234375 × 8192)
    floor (983.5)     		ty = 983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1000 / 983 ti = "13/1000/983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1000/983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1000 ÷ 213
    1000 ÷ 8192     		x = 0.1220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 983 ÷ 213
    983 ÷ 8192     		y = 0.1199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1220703125 × 2 - 1) × π
    -0.755859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37460226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1199951171875 × 2 - 1) × π
    0.760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38764109627576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37460226} λ = -2.37460226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38764109627576))-π/2
    2×atan(10.8877804013433)-π/2
    2×1.4792072049376-π/2
    2.9584144098752-1.57079632675     		φ = 1.38761808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37460226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38761808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.504660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1000 KachelY 983 -2.37460226 1.38761808 -136.054688 79.504660
    Oben rechts KachelX + 1 1001 KachelY 983 -2.37383527 1.38761808 -136.010742 79.504660
    Unten links KachelX 1000 KachelY + 1 984 -2.37460226 1.38747832 -136.054688 79.496652
    Unten rechts KachelX + 1 1001 KachelY + 1 984 -2.37383527 1.38747832 -136.010742 79.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38761808-1.38747832) × R
    0.000139759999999933 × 6371000     		dl = 890.410959999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38761808-1.38747832) × R
    0.000139759999999933 × 6371000     		dr = 890.410959999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37460226--2.37383527) × cos(1.38761808) × R
    0.000766990000000245 × 0.182155562014126 × 6371000     		do = 890.101931518492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37460226--2.37383527) × cos(1.38747832) × R
    0.000766990000000245 × 0.182292982011374 × 6371000     		du = 890.773433412952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38761808)-sin(1.38747832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182155562014126-0.182292982011374)×R²
    abs(-2.37383527--2.37460226)×0.000137419997247118×R²
    0.000766990000000245×0.000137419997247118×6371000²
    0.000766990000000245×0.000137419997247118×40589641000000     		ar = 792855.472953143m²