Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1000 / 428
↖ ↑ ↗
← N 71.746432°
W  4.218750°		 ← 6 122.25 m → N 71.746432°
W  4.042969°		 →
↑
6 131.20 m
↓
↑
6 131.20 m
↓
N 71.691293°
W  4.218750°		 ← 6 140.11 m →
37 591 453 m²		 N 71.691293°
W  4.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488525390625 y=0.209228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488525390625 × 211)
    floor (0.488525390625 × 2048)
    floor (1000.5)     		tx = 1000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209228515625 × 211)
    floor (0.209228515625 × 2048)
    floor (428.5)     		ty = 428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1000 / 428 ti = "11/1000/428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1000/428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1000 ÷ 211
    1000 ÷ 2048     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 428 ÷ 211
    428 ÷ 2048     		y = 0.208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208984375 × 2 - 1) × π
    0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82850509910742))-π/2
    2×atan(6.22457457784768)-π/2
    2×1.41150389341655-π/2
    2.8230077868331-1.57079632675     		φ = 1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1000 KachelY 428 -0.07363108 1.25221146 -4.218750 71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 1001 KachelY 428 -0.07056312 1.25221146 -4.042969 71.746432
    Unten links KachelX 1000 KachelY + 1 429 -0.07363108 1.25124910 -4.218750 71.691293
    Unten rechts KachelX + 1 1001 KachelY + 1 429 -0.07056312 1.25124910 -4.042969 71.691293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25221146-1.25124910) × R
    0.000962360000000162 × 6371000     		dl = 6131.19556000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25221146-1.25124910) × R
    0.000962360000000162 × 6371000     		dr = 6131.19556000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.07056312) × cos(1.25221146) × R
    0.00306796000000001 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 6122.24740368416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.07056312) × cos(1.25124910) × R
    0.00306796000000001 × 0.314136740024525 × 6371000     		du = 6140.10828908929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25221146)-sin(1.25124910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.314136740024525)×R²
    abs(-0.07056312--0.07363108)×0.000913788495406354×R²
    0.00306796000000001×0.000913788495406354×6371000²
    0.00306796000000001×0.000913788495406354×40589641000000     		ar = 37591453.2905732m²