Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 100 / 107
↖ ↑ ↗
← N 80.474065°
W144.843750°		 ← 6 469.48 m → N 80.474065°
W144.492188°		 →
↑
6 489.05 m
↓
↑
6 489.05 m
↓
N 80.415708°
W144.843750°		 ← 6 508.75 m →
42 108 230 m²		 N 80.415708°
W144.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.09814453125 y=0.10498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.09814453125 × 210)
    floor (0.09814453125 × 1024)
    floor (100.5)     		tx = 100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10498046875 × 210)
    floor (0.10498046875 × 1024)
    floor (107.5)     		ty = 107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 100 / 107 ti = "10/100/107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/100/107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100 ÷ 210
    100 ÷ 1024     		x = 0.09765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 107 ÷ 210
    107 ÷ 1024     		y = 0.1044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.09765625 × 2 - 1) × π
    -0.8046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.52800034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1044921875 × 2 - 1) × π
    0.791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52800034} λ = -2.52800034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48504887630371))-π/2
    2×atan(12.0017068395646)-π/2
    2×1.48766686455127-π/2
    2.97533372910253-1.57079632675     		φ = 1.40453740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52800034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40453740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.474065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100 KachelY 107 -2.52800034 1.40453740 -144.843750 80.474065
    Oben rechts KachelX + 1 101 KachelY 107 -2.52186442 1.40453740 -144.492188 80.474065
    Unten links KachelX 100 KachelY + 1 108 -2.52800034 1.40351887 -144.843750 80.415708
    Unten rechts KachelX + 1 101 KachelY + 1 108 -2.52186442 1.40351887 -144.492188 80.415708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40453740-1.40351887) × R
    0.00101852999999985 × 6371000     		dl = 6489.05462999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40453740-1.40351887) × R
    0.00101852999999985 × 6371000     		dr = 6489.05462999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52800034--2.52186442) × cos(1.40453740) × R
    0.00613592000000018 × 0.165494028999507 × 6371000     		do = 6469.48369792943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52800034--2.52186442) × cos(1.40351887) × R
    0.00613592000000018 × 0.166498428261839 × 6371000     		du = 6508.74761997636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40453740)-sin(1.40351887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165494028999507-0.166498428261839)×R²
    abs(-2.52186442--2.52800034)×0.00100439926233192×R²
    0.00613592000000018×0.00100439926233192×6371000²
    0.00613592000000018×0.00100439926233192×40589641000000     		ar = 42108229.6515888m²