Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9945 / 4808
↖ ↑ ↗
← N 59.445075°
E 38.518066°		 ← 1 242.08 m → N 59.445075°
E 38.540039°		 →
↑
1 242.22 m
↓
↑
1 242.22 m
↓
N 59.433903°
E 38.518066°		 ← 1 242.49 m →
1 543 182 m²		 N 59.433903°
E 38.540039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607025146484375 y=0.293487548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607025146484375 × 214)
    floor (0.607025146484375 × 16384)
    floor (9945.5)     		tx = 9945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293487548828125 × 214)
    floor (0.293487548828125 × 16384)
    floor (4808.5)     		ty = 4808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9945 / 4808 ti = "14/9945/4808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9945/4808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9945 ÷ 214
    9945 ÷ 16384     		x = 0.60699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4808 ÷ 214
    4808 ÷ 16384     		y = 0.29345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60699462890625 × 2 - 1) × π
    0.2139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67226708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29345703125 × 2 - 1) × π
    0.4130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29774774651416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67226708} λ = 0.67226708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29774774651416))-π/2
    2×atan(3.66104178094717)-π/2
    2×1.30415430567485-π/2
    2.60830861134971-1.57079632675     		φ = 1.03751228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67226708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.518066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03751228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.445075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9945 KachelY 4808 0.67226708 1.03751228 38.518066 59.445075
    Oben rechts KachelX + 1 9946 KachelY 4808 0.67265058 1.03751228 38.540039 59.445075
    Unten links KachelX 9945 KachelY + 1 4809 0.67226708 1.03731730 38.518066 59.433903
    Unten rechts KachelX + 1 9946 KachelY + 1 4809 0.67265058 1.03731730 38.540039 59.433903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03751228-1.03731730) × R
    0.000194980000000067 × 6371000     		dl = 1242.21758000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03751228-1.03731730) × R
    0.000194980000000067 × 6371000     		dr = 1242.21758000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67226708-0.67265058) × cos(1.03751228) × R
    0.000383499999999981 × 0.508364108829362 × 6371000     		do = 1242.07509727438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67226708-0.67265058) × cos(1.03731730) × R
    0.000383499999999981 × 0.508532004676172 × 6371000     		du = 1242.48531358713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03751228)-sin(1.03731730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508364108829362-0.508532004676172)×R²
    abs(0.67265058-0.67226708)×0.000167895846809762×R²
    0.000383499999999981×0.000167895846809762×6371000²
    0.000383499999999981×0.000167895846809762×40589641000000     		ar = 1543182.31536086m²