Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9931 / 4811
↖ ↑ ↗
← N 59.411548°
E 38.210449°		 ← 1 243.27 m → N 59.411548°
E 38.232422°		 →
↑
1 243.49 m
↓
↑
1 243.49 m
↓
N 59.400365°
E 38.210449°		 ← 1 243.68 m →
1 546 256 m²		 N 59.400365°
E 38.232422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606170654296875 y=0.293670654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606170654296875 × 214)
    floor (0.606170654296875 × 16384)
    floor (9931.5)     		tx = 9931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293670654296875 × 214)
    floor (0.293670654296875 × 16384)
    floor (4811.5)     		ty = 4811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9931 / 4811 ti = "14/9931/4811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9931/4811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9931 ÷ 214
    9931 ÷ 16384     		x = 0.60614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4811 ÷ 214
    4811 ÷ 16384     		y = 0.29364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60614013671875 × 2 - 1) × π
    0.2122802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66689815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29364013671875 × 2 - 1) × π
    0.4127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29659726092328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66689815} λ = 0.66689815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29659726092328))-π/2
    2×atan(3.65683222711041)-π/2
    2×1.30386172799367-π/2
    2.60772345598733-1.57079632675     		φ = 1.03692713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66689815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.210449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03692713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.411548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9931 KachelY 4811 0.66689815 1.03692713 38.210449 59.411548
    Oben rechts KachelX + 1 9932 KachelY 4811 0.66728164 1.03692713 38.232422 59.411548
    Unten links KachelX 9931 KachelY + 1 4812 0.66689815 1.03673195 38.210449 59.400365
    Unten rechts KachelX + 1 9932 KachelY + 1 4812 0.66728164 1.03673195 38.232422 59.400365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03692713-1.03673195) × R
    0.000195179999999961 × 6371000     		dl = 1243.49177999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03692713-1.03673195) × R
    0.000195179999999961 × 6371000     		dr = 1243.49177999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66689815-0.66728164) × cos(1.03692713) × R
    0.000383490000000042 × 0.508867919141899 × 6371000     		do = 1243.27362620415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66689815-0.66728164) × cos(1.03673195) × R
    0.000383490000000042 × 0.509035929098899 × 6371000     		du = 1243.68411061596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03692713)-sin(1.03673195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508867919141899-0.509035929098899)×R²
    abs(0.66728164-0.66689815)×0.000168009956999726×R²
    0.000383490000000042×0.000168009956999726×6371000²
    0.000383490000000042×0.000168009956999726×40589641000000     		ar = 1546255.75638028m²