Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9928 / 4809
↖ ↑ ↗
← N 59.433903°
E 38.144531°		 ← 1 242.49 m → N 59.433903°
E 38.166504°		 →
↑
1 242.66 m
↓
↑
1 242.66 m
↓
N 59.422728°
E 38.144531°		 ← 1 242.90 m →
1 544 246 m²		 N 59.422728°
E 38.166504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605987548828125 y=0.293548583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605987548828125 × 214)
    floor (0.605987548828125 × 16384)
    floor (9928.5)     		tx = 9928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293548583984375 × 214)
    floor (0.293548583984375 × 16384)
    floor (4809.5)     		ty = 4809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9928 / 4809 ti = "14/9928/4809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9928/4809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9928 ÷ 214
    9928 ÷ 16384     		x = 0.60595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4809 ÷ 214
    4809 ÷ 16384     		y = 0.29351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60595703125 × 2 - 1) × π
    0.2119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66574766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29351806640625 × 2 - 1) × π
    0.4129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2973642513172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66574766} λ = 0.66574766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2973642513172))-π/2
    2×atan(3.65963805818598)-π/2
    2×1.30405681198174-π/2
    2.60811362396348-1.57079632675     		φ = 1.03731730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66574766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03731730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.433903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9928 KachelY 4809 0.66574766 1.03731730 38.144531 59.433903
    Oben rechts KachelX + 1 9929 KachelY 4809 0.66613116 1.03731730 38.166504 59.433903
    Unten links KachelX 9928 KachelY + 1 4810 0.66574766 1.03712225 38.144531 59.422728
    Unten rechts KachelX + 1 9929 KachelY + 1 4810 0.66613116 1.03712225 38.166504 59.422728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03731730-1.03712225) × R
    0.000195050000000085 × 6371000     		dl = 1242.66355000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03731730-1.03712225) × R
    0.000195050000000085 × 6371000     		dr = 1242.66355000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66574766-0.66613116) × cos(1.03731730) × R
    0.000383500000000092 × 0.508532004676172 × 6371000     		do = 1242.48531358749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66574766-0.66613116) × cos(1.03712225) × R
    0.000383500000000092 × 0.508699941456092 × 6371000     		du = 1242.89562991123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03731730)-sin(1.03712225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508532004676172-0.508699941456092)×R²
    abs(0.66613116-0.66574766)×0.000167936779919775×R²
    0.000383500000000092×0.000167936779919775×6371000²
    0.000383500000000092×0.000167936779919775×40589641000000     		ar = 1544246.15807283m²