Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9927 / 4807
↖ ↑ ↗
← N 59.456244°
E 38.122559°		 ← 1 241.63 m → N 59.456244°
E 38.144531°		 →
↑
1 241.90 m
↓
↑
1 241.90 m
↓
N 59.445075°
E 38.122559°		 ← 1 242.04 m →
1 542 237 m²		 N 59.445075°
E 38.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605926513671875 y=0.293426513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605926513671875 × 214)
    floor (0.605926513671875 × 16384)
    floor (9927.5)     		tx = 9927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293426513671875 × 214)
    floor (0.293426513671875 × 16384)
    floor (4807.5)     		ty = 4807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9927 / 4807 ti = "14/9927/4807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9927/4807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9927 ÷ 214
    9927 ÷ 16384     		x = 0.60589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4807 ÷ 214
    4807 ÷ 16384     		y = 0.29339599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60589599609375 × 2 - 1) × π
    0.2117919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66536417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29339599609375 × 2 - 1) × π
    0.4132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29813124171112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66536417} λ = 0.66536417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29813124171112))-π/2
    2×atan(3.66244604213253)-π/2
    2×1.30425176717659-π/2
    2.60850353435317-1.57079632675     		φ = 1.03770721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66536417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.122559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03770721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.456244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9927 KachelY 4807 0.66536417 1.03770721 38.122559 59.456244
    Oben rechts KachelX + 1 9928 KachelY 4807 0.66574766 1.03770721 38.144531 59.456244
    Unten links KachelX 9927 KachelY + 1 4808 0.66536417 1.03751228 38.122559 59.445075
    Unten rechts KachelX + 1 9928 KachelY + 1 4808 0.66574766 1.03751228 38.144531 59.445075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03770721-1.03751228) × R
    0.000194929999999927 × 6371000     		dl = 1241.89902999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03770721-1.03751228) × R
    0.000194929999999927 × 6371000     		dr = 1241.89902999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66536417-0.66574766) × cos(1.03770721) × R
    0.000383489999999931 × 0.508196236718038 × 6371000     		do = 1241.63256177163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66536417-0.66574766) × cos(1.03751228) × R
    0.000383489999999931 × 0.508364108829362 × 6371000     		du = 1242.04270939684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03770721)-sin(1.03751228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508196236718038-0.508364108829362)×R²
    abs(0.66574766-0.66536417)×0.000167872111323852×R²
    0.000383489999999931×0.000167872111323852×6371000²
    0.000383489999999931×0.000167872111323852×40589641000000     		ar = 1542236.95993189m²