Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9914 / 4806
↖ ↑ ↗
← N 59.467408°
E 37.836914°		 ← 1 241.22 m → N 59.467408°
E 37.858886°		 →
↑
1 241.45 m
↓
↑
1 241.45 m
↓
N 59.456244°
E 37.836914°		 ← 1 241.63 m →
1 541 174 m²		 N 59.456244°
E 37.858886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605133056640625 y=0.293365478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605133056640625 × 214)
    floor (0.605133056640625 × 16384)
    floor (9914.5)     		tx = 9914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293365478515625 × 214)
    floor (0.293365478515625 × 16384)
    floor (4806.5)     		ty = 4806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9914 / 4806 ti = "14/9914/4806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9914/4806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9914 ÷ 214
    9914 ÷ 16384     		x = 0.6051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4806 ÷ 214
    4806 ÷ 16384     		y = 0.2933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6051025390625 × 2 - 1) × π
    0.210205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66037873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2933349609375 × 2 - 1) × π
    0.413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29851473690808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66037873} λ = 0.66037873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29851473690808))-π/2
    2×atan(3.66385084194859)-π/2
    2×1.30434919649386-π/2
    2.60869839298773-1.57079632675     		φ = 1.03790207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66037873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.836914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03790207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.467408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9914 KachelY 4806 0.66037873 1.03790207 37.836914 59.467408
    Oben rechts KachelX + 1 9915 KachelY 4806 0.66076222 1.03790207 37.858886 59.467408
    Unten links KachelX 9914 KachelY + 1 4807 0.66037873 1.03770721 37.836914 59.456244
    Unten rechts KachelX + 1 9915 KachelY + 1 4807 0.66076222 1.03770721 37.858886 59.456244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03790207-1.03770721) × R
    0.000194859999999908 × 6371000     		dl = 1241.45305999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03790207-1.03770721) × R
    0.000194859999999908 × 6371000     		dr = 1241.45305999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66037873-0.66076222) × cos(1.03790207) × R
    0.000383489999999931 × 0.508028405590247 × 6371000     		do = 1241.22251427799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66037873-0.66076222) × cos(1.03770721) × R
    0.000383489999999931 × 0.508196236718038 × 6371000     		du = 1241.63256177163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03790207)-sin(1.03770721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508028405590247-0.508196236718038)×R²
    abs(0.66076222-0.66037873)×0.000167831127791174×R²
    0.000383489999999931×0.000167831127791174×6371000²
    0.000383489999999931×0.000167831127791174×40589641000000     		ar = 1541174.02072619m²