Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9912 / 4793
↖ ↑ ↗
← N 59.612212°
E 37.792969°		 ← 1 235.90 m → N 59.612212°
E 37.814941°		 →
↑
1 236.17 m
↓
↑
1 236.17 m
↓
N 59.601095°
E 37.792969°		 ← 1 236.31 m →
1 528 029 m²		 N 59.601095°
E 37.814941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605010986328125 y=0.292572021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605010986328125 × 214)
    floor (0.605010986328125 × 16384)
    floor (9912.5)     		tx = 9912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292572021484375 × 214)
    floor (0.292572021484375 × 16384)
    floor (4793.5)     		ty = 4793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9912 / 4793 ti = "14/9912/4793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9912/4793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9912 ÷ 214
    9912 ÷ 16384     		x = 0.60498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4793 ÷ 214
    4793 ÷ 16384     		y = 0.29254150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60498046875 × 2 - 1) × π
    0.2099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65961174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29254150390625 × 2 - 1) × π
    0.4149169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30350017446857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65961174} λ = 0.65961174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30350017446857))-π/2
    2×atan(3.68216234906267)-π/2
    2×1.30561285198979-π/2
    2.61122570397958-1.57079632675     		φ = 1.04042938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65961174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.792969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04042938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.612212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9912 KachelY 4793 0.65961174 1.04042938 37.792969 59.612212
    Oben rechts KachelX + 1 9913 KachelY 4793 0.65999523 1.04042938 37.814941 59.612212
    Unten links KachelX 9912 KachelY + 1 4794 0.65961174 1.04023535 37.792969 59.601095
    Unten rechts KachelX + 1 9913 KachelY + 1 4794 0.65999523 1.04023535 37.814941 59.601095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04042938-1.04023535) × R
    0.000194030000000067 × 6371000     		dl = 1236.16513000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04042938-1.04023535) × R
    0.000194030000000067 × 6371000     		dr = 1236.16513000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65961174-0.65999523) × cos(1.04042938) × R
    0.000383490000000042 × 0.505849911451862 × 6371000     		do = 1235.89998517951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65961174-0.65999523) × cos(1.04023535) × R
    0.000383490000000042 × 0.506017276380096 × 6371000     		du = 1236.3088936475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04042938)-sin(1.04023535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505849911451862-0.506017276380096)×R²
    abs(0.65999523-0.65961174)×0.000167364928233882×R²
    0.000383490000000042×0.000167364928233882×6371000²
    0.000383490000000042×0.000167364928233882×40589641000000     		ar = 1528029.20983508m²