Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9857 / 4734
↖ ↑ ↗
← N 60.261617°
E 36.584472°		 ← 1 211.96 m → N 60.261617°
E 36.606445°		 →
↑
1 212.15 m
↓
↑
1 212.15 m
↓
N 60.250716°
E 36.584472°		 ← 1 212.37 m →
1 469 324 m²		 N 60.250716°
E 36.606445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601654052734375 y=0.288970947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601654052734375 × 214)
    floor (0.601654052734375 × 16384)
    floor (9857.5)     		tx = 9857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288970947265625 × 214)
    floor (0.288970947265625 × 16384)
    floor (4734.5)     		ty = 4734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9857 / 4734 ti = "14/9857/4734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9857/4734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9857 ÷ 214
    9857 ÷ 16384     		x = 0.60162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4734 ÷ 214
    4734 ÷ 16384     		y = 0.2889404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60162353515625 × 2 - 1) × π
    0.2032470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63851950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2889404296875 × 2 - 1) × π
    0.422119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32612639108923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63851950} λ = 0.63851950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32612639108923))-π/2
    2×atan(3.76642543460547)-π/2
    2×1.3112799787239-π/2
    2.62255995744779-1.57079632675     		φ = 1.05176363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63851950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.584472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05176363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.261617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9857 KachelY 4734 0.63851950 1.05176363 36.584472 60.261617
    Oben rechts KachelX + 1 9858 KachelY 4734 0.63890300 1.05176363 36.606445 60.261617
    Unten links KachelX 9857 KachelY + 1 4735 0.63851950 1.05157337 36.584472 60.250716
    Unten rechts KachelX + 1 9858 KachelY + 1 4735 0.63890300 1.05157337 36.606445 60.250716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05176363-1.05157337) × R
    0.000190259999999887 × 6371000     		dl = 1212.14645999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05176363-1.05157337) × R
    0.000190259999999887 × 6371000     		dr = 1212.14645999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63851950-0.63890300) × cos(1.05176363) × R
    0.000383499999999981 × 0.496040461241427 × 6371000     		do = 1211.9649940812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63851950-0.63890300) × cos(1.05157337) × R
    0.000383499999999981 × 0.496205654907622 × 6371000     		du = 1212.36860821415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05176363)-sin(1.05157337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496040461241427-0.496205654907622)×R²
    abs(0.63890300-0.63851950)×0.00016519366619494×R²
    0.000383499999999981×0.00016519366619494×6371000²
    0.000383499999999981×0.00016519366619494×40589641000000     		ar = 1469323.7013711m²