Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9854 / 4738
↖ ↑ ↗
← N 60.217991°
E 36.518555°		 ← 1 213.55 m → N 60.217991°
E 36.540527°		 →
↑
1 213.80 m
↓
↑
1 213.80 m
↓
N 60.207075°
E 36.518555°		 ← 1 213.95 m →
1 473 254 m²		 N 60.207075°
E 36.540527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601470947265625 y=0.289215087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601470947265625 × 214)
    floor (0.601470947265625 × 16384)
    floor (9854.5)     		tx = 9854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289215087890625 × 214)
    floor (0.289215087890625 × 16384)
    floor (4738.5)     		ty = 4738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9854 / 4738 ti = "14/9854/4738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9854/4738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9854 ÷ 214
    9854 ÷ 16384     		x = 0.6014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4738 ÷ 214
    4738 ÷ 16384     		y = 0.2891845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6014404296875 × 2 - 1) × π
    0.202880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63736902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2891845703125 × 2 - 1) × π
    0.421630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32459241030139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63736902} λ = 0.63736902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32459241030139))-π/2
    2×atan(3.76065223946723)-π/2
    2×1.31089926700323-π/2
    2.62179853400647-1.57079632675     		φ = 1.05100221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63736902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.518555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05100221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.217991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9854 KachelY 4738 0.63736902 1.05100221 36.518555 60.217991
    Oben rechts KachelX + 1 9855 KachelY 4738 0.63775251 1.05100221 36.540527 60.217991
    Unten links KachelX 9854 KachelY + 1 4739 0.63736902 1.05081169 36.518555 60.207075
    Unten rechts KachelX + 1 9855 KachelY + 1 4739 0.63775251 1.05081169 36.540527 60.207075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05100221-1.05081169) × R
    0.000190520000000083 × 6371000     		dl = 1213.80292000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05100221-1.05081169) × R
    0.000190520000000083 × 6371000     		dr = 1213.80292000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63736902-0.63775251) × cos(1.05100221) × R
    0.000383490000000042 × 0.496701457919985 × 6371000     		do = 1213.5483482048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63736902-0.63775251) × cos(1.05081169) × R
    0.000383490000000042 × 0.496866805301048 × 6371000     		du = 1213.9523273717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05100221)-sin(1.05081169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496701457919985-0.496866805301048)×R²
    abs(0.63775251-0.63736902)×0.000165347381063052×R²
    0.000383490000000042×0.000165347381063052×6371000²
    0.000383490000000042×0.000165347381063052×40589641000000     		ar = 1473253.70861526m²