Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9848 / 4728
↖ ↑ ↗
← N 60.326948°
E 36.386719°		 ← 1 209.51 m → N 60.326948°
E 36.408691°		 →
↑
1 209.79 m
↓
↑
1 209.79 m
↓
N 60.316068°
E 36.386719°		 ← 1 209.92 m →
1 463 500 m²		 N 60.316068°
E 36.408691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601104736328125 y=0.288604736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601104736328125 × 214)
    floor (0.601104736328125 × 16384)
    floor (9848.5)     		tx = 9848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288604736328125 × 214)
    floor (0.288604736328125 × 16384)
    floor (4728.5)     		ty = 4728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9848 / 4728 ti = "14/9848/4728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9848/4728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9848 ÷ 214
    9848 ÷ 16384     		x = 0.60107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4728 ÷ 214
    4728 ÷ 16384     		y = 0.28857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60107421875 × 2 - 1) × π
    0.2021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63506805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28857421875 × 2 - 1) × π
    0.4228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.328427362271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63506805} λ = 0.63506805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.328427362271))-π/2
    2×atan(3.7751018492507)-π/2
    2×1.31185009628499-π/2
    2.62370019256998-1.57079632675     		φ = 1.05290387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63506805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05290387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.326948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9848 KachelY 4728 0.63506805 1.05290387 36.386719 60.326948
    Oben rechts KachelX + 1 9849 KachelY 4728 0.63545154 1.05290387 36.408691 60.326948
    Unten links KachelX 9848 KachelY + 1 4729 0.63506805 1.05271398 36.386719 60.316068
    Unten rechts KachelX + 1 9849 KachelY + 1 4729 0.63545154 1.05271398 36.408691 60.316068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05290387-1.05271398) × R
    0.000189889999999915 × 6371000     		dl = 1209.78918999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05290387-1.05271398) × R
    0.000189889999999915 × 6371000     		dr = 1209.78918999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63506805-0.63545154) × cos(1.05290387) × R
    0.000383490000000042 × 0.495050069276937 × 6371000     		do = 1209.51365104807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63506805-0.63545154) × cos(1.05271398) × R
    0.000383490000000042 × 0.495215049020656 × 6371000     		du = 1209.91673199797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05290387)-sin(1.05271398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495050069276937-0.495215049020656)×R²
    abs(0.63545154-0.63506805)×0.000164979743719151×R²
    0.000383490000000042×0.000164979743719151×6371000²
    0.000383490000000042×0.000164979743719151×40589641000000     		ar = 1463500.36607968m²