Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9726 / 4613
↖ ↑ ↗
← N 61.554110°
E 33.706055°		 ← 1 163.80 m → N 61.554110°
E 33.728027°		 →
↑
1 163.98 m
↓
↑
1 163.98 m
↓
N 61.543642°
E 33.706055°		 ← 1 164.20 m →
1 354 874 m²		 N 61.543642°
E 33.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593658447265625 y=0.281585693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593658447265625 × 214)
    floor (0.593658447265625 × 16384)
    floor (9726.5)     		tx = 9726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281585693359375 × 214)
    floor (0.281585693359375 × 16384)
    floor (4613.5)     		ty = 4613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9726 / 4613 ti = "14/9726/4613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9726/4613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9726 ÷ 214
    9726 ÷ 16384     		x = 0.5936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4613 ÷ 214
    4613 ÷ 16384     		y = 0.28155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5936279296875 × 2 - 1) × π
    0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28155517578125 × 2 - 1) × π
    0.4368896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37252930992145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58828163} λ = 0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37252930992145))-π/2
    2×atan(3.94531701567197)-π/2
    2×1.32255910236156-π/2
    2.64511820472313-1.57079632675     		φ = 1.07432188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07432188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.554110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9726 KachelY 4613 0.58828163 1.07432188 33.706055 61.554110
    Oben rechts KachelX + 1 9727 KachelY 4613 0.58866513 1.07432188 33.728027 61.554110
    Unten links KachelX 9726 KachelY + 1 4614 0.58828163 1.07413918 33.706055 61.543642
    Unten rechts KachelX + 1 9727 KachelY + 1 4614 0.58866513 1.07413918 33.728027 61.543642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07432188-1.07413918) × R
    0.000182700000000091 × 6371000     		dl = 1163.98170000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07432188-1.07413918) × R
    0.000182700000000091 × 6371000     		dr = 1163.98170000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58828163-0.58866513) × cos(1.07432188) × R
    0.000383499999999981 × 0.476328601486932 × 6371000     		do = 1163.80343094803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58828163-0.58866513) × cos(1.07413918) × R
    0.000383499999999981 × 0.476489235680154 × 6371000     		du = 1164.1959050187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07432188)-sin(1.07413918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476328601486932-0.476489235680154)×R²
    abs(0.58866513-0.58828163)×0.000160634193222597×R²
    0.000383499999999981×0.000160634193222597×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160634193222597×40589641000000     		ar = 1354874.31610874m²