Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9724 / 4604
↖ ↑ ↗
← N 61.648162°
E 33.662109°		 ← 1 160.28 m → N 61.648162°
E 33.684082°		 →
↑
1 160.41 m
↓
↑
1 160.41 m
↓
N 61.637726°
E 33.662109°		 ← 1 160.67 m →
1 346 627 m²		 N 61.637726°
E 33.684082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593536376953125 y=0.281036376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593536376953125 × 214)
    floor (0.593536376953125 × 16384)
    floor (9724.5)     		tx = 9724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281036376953125 × 214)
    floor (0.281036376953125 × 16384)
    floor (4604.5)     		ty = 4604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9724 / 4604 ti = "14/9724/4604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9724/4604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9724 ÷ 214
    9724 ÷ 16384     		x = 0.593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4604 ÷ 214
    4604 ÷ 16384     		y = 0.281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593505859375 × 2 - 1) × π
    0.18701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58751464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281005859375 × 2 - 1) × π
    0.43798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.37598076669409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58751464} λ = 0.58751464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37598076669409))-π/2
    2×atan(3.95895763326571)-π/2
    2×1.32337986974091-π/2
    2.64675973948182-1.57079632675     		φ = 1.07596341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58751464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07596341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.648162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9724 KachelY 4604 0.58751464 1.07596341 33.662109 61.648162
    Oben rechts KachelX + 1 9725 KachelY 4604 0.58789814 1.07596341 33.684082 61.648162
    Unten links KachelX 9724 KachelY + 1 4605 0.58751464 1.07578127 33.662109 61.637726
    Unten rechts KachelX + 1 9725 KachelY + 1 4605 0.58789814 1.07578127 33.684082 61.637726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07596341-1.07578127) × R
    0.000182139999999942 × 6371000     		dl = 1160.41393999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07596341-1.07578127) × R
    0.000182139999999942 × 6371000     		dr = 1160.41393999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58751464-0.58789814) × cos(1.07596341) × R
    0.000383499999999981 × 0.474884616648524 × 6371000     		do = 1160.27537383802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58751464-0.58789814) × cos(1.07578127) × R
    0.000383499999999981 × 0.475044900725483 × 6371000     		du = 1160.66699247715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07596341)-sin(1.07578127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474884616648524-0.475044900725483)×R²
    abs(0.58789814-0.58751464)×0.00016028407695956×R²
    0.000383499999999981×0.00016028407695956×6371000²
    0.000383499999999981×0.00016028407695956×40589641000000     		ar = 1346626.9416267m²