Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 972 / 1006
↖ ↑ ↗
← N  3.162455°
W  9.140625°		 ← 19.516 km → N  3.162455°
W  8.964844°		 →
↑
19.518 km
↓
↑
19.518 km
↓
N  2.986928°
W  9.140625°		 ← 19.519 km →
380.945 km²		 N  2.986928°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474853515625 y=0.491455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474853515625 × 211)
    floor (0.474853515625 × 2048)
    floor (972.5)     		tx = 972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491455078125 × 211)
    floor (0.491455078125 × 2048)
    floor (1006.5)     		ty = 1006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 972 / 1006 ti = "11/972/1006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/972/1006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 972 ÷ 211
    972 ÷ 2048     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1006 ÷ 211
    1006 ÷ 2048     		y = 0.4912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0552233083623047))-π/2
    2×atan(1.05677657537488)-π/2
    2×0.812995794121937-π/2
    1.62599158824387-1.57079632675     		φ = 0.05519526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05519526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.162455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 972 KachelY 1006 -0.15953400 0.05519526 -9.140625 3.162455
    Oben rechts KachelX + 1 973 KachelY 1006 -0.15646604 0.05519526 -8.964844 3.162455
    Unten links KachelX 972 KachelY + 1 1007 -0.15953400 0.05213172 -9.140625 2.986928
    Unten rechts KachelX + 1 973 KachelY + 1 1007 -0.15646604 0.05213172 -8.964844 2.986928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05519526-0.05213172) × R
    0.00306354 × 6371000     		dl = 19517.81334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05519526-0.05213172) × R
    0.00306354 × 6371000     		dr = 19517.81334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15646604) × cos(0.05519526) × R
    0.00306796000000001 × 0.998477128316837 × 6371000     		do = 19516.2071509548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15646604) × cos(0.05213172) × R
    0.00306796000000001 × 0.998641449606272 × 6371000     		du = 19519.4189704677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05519526)-sin(0.05213172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998477128316837-0.998641449606272)×R²
    abs(-0.15646604--0.15953400)×0.000164321289435443×R²
    0.00306796000000001×0.000164321289435443×6371000²
    0.00306796000000001×0.000164321289435443×40589641000000     		ar = 380945330.063822m²