Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 972 / 1005
↖ ↑ ↗
← N  3.337954°
W  9.140625°		 ← 19.513 km → N  3.337954°
W  8.964844°		 →
↑
19.515 km
↓
↑
19.515 km
↓
N  3.162455°
W  9.140625°		 ← 19.516 km →
380.817 km²		 N  3.162455°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474853515625 y=0.490966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474853515625 × 211)
    floor (0.474853515625 × 2048)
    floor (972.5)     		tx = 972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490966796875 × 211)
    floor (0.490966796875 × 2048)
    floor (1005.5)     		ty = 1005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 972 / 1005 ti = "11/972/1005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/972/1005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 972 ÷ 211
    972 ÷ 2048     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1005 ÷ 211
    1005 ÷ 2048     		y = 0.49072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49072265625 × 2 - 1) × π
    0.0185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0582912699379883))-π/2
    2×atan(1.06002370378788)-π/2
    2×0.814527306849969-π/2
    1.62905461369994-1.57079632675     		φ = 0.05825829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05825829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.337954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 972 KachelY 1005 -0.15953400 0.05825829 -9.140625 3.337954
    Oben rechts KachelX + 1 973 KachelY 1005 -0.15646604 0.05825829 -8.964844 3.337954
    Unten links KachelX 972 KachelY + 1 1006 -0.15953400 0.05519526 -9.140625 3.162455
    Unten rechts KachelX + 1 973 KachelY + 1 1006 -0.15646604 0.05519526 -8.964844 3.162455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05825829-0.05519526) × R
    0.00306302999999999 × 6371000     		dl = 19514.56413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05825829-0.05519526) × R
    0.00306302999999999 × 6371000     		dr = 19514.56413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15646604) × cos(0.05825829) × R
    0.00306796000000001 × 0.998303465745026 × 6371000     		do = 19512.8127469873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15646604) × cos(0.05519526) × R
    0.00306796000000001 × 0.998477128316837 × 6371000     		du = 19516.2071509548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05825829)-sin(0.05519526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998303465745026-0.998477128316837)×R²
    abs(-0.15646604--0.15953400)×0.000173662571811395×R²
    0.00306796000000001×0.000173662571811395×6371000²
    0.00306796000000001×0.000173662571811395×40589641000000     		ar = 380817453.605392m²