Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9616 / 9168
↖ ↑ ↗
← S 20.961440°
E 31.289062°		 ← 2 281.59 m → S 20.961440°
E 31.311035°		 →
↑
2 281.39 m
↓
↑
2 281.39 m
↓
S 20.981957°
E 31.289062°		 ← 2 281.27 m →
5 204 833 m²		 S 20.981957°
E 31.311035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586944580078125 y=0.559600830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586944580078125 × 214)
    floor (0.586944580078125 × 16384)
    floor (9616.5)     		tx = 9616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559600830078125 × 214)
    floor (0.559600830078125 × 16384)
    floor (9168.5)     		ty = 9168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9616 / 9168 ti = "14/9616/9168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9616/9168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9616 ÷ 214
    9616 ÷ 16384     		x = 0.5869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9168 ÷ 214
    9168 ÷ 16384     		y = 0.5595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5869140625 × 2 - 1) × π
    0.173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54609716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5595703125 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.374291312233398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54609716} λ = 0.54609716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.374291312233398))-π/2
    2×atan(0.687776524927263)-π/2
    2×0.602475094790464-π/2
    1.20495018958093-1.57079632675     		φ = -0.36584614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54609716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.289062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36584614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.961440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9616 KachelY 9168 0.54609716 -0.36584614 31.289062 -20.961440
    Oben rechts KachelX + 1 9617 KachelY 9168 0.54648066 -0.36584614 31.311035 -20.961440
    Unten links KachelX 9616 KachelY + 1 9169 0.54609716 -0.36620423 31.289062 -20.981957
    Unten rechts KachelX + 1 9617 KachelY + 1 9169 0.54648066 -0.36620423 31.311035 -20.981957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36584614--0.36620423) × R
    0.000358090000000033 × 6371000     		dl = 2281.39139000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36584614--0.36620423) × R
    0.000358090000000033 × 6371000     		dr = 2281.39139000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54609716-0.54648066) × cos(-0.36584614) × R
    0.000383499999999981 × 0.933821397730396 × 6371000     		do = 2281.58574391451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54609716-0.54648066) × cos(-0.36620423) × R
    0.000383499999999981 × 0.933693234900682 × 6371000     		du = 2281.27260642817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36584614)-sin(-0.36620423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933821397730396-0.933693234900682)×R²
    abs(0.54648066-0.54609716)×0.000128162829714396×R²
    0.000383499999999981×0.000128162829714396×6371000²
    0.000383499999999981×0.000128162829714396×40589641000000     		ar = 5204832.93274804m²