Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9548 / 9260
↖ ↑ ↗
← S 22.836946°
E 29.794922°		 ← 2 251.70 m → S 22.836946°
E 29.816894°		 →
↑
2 251.58 m
↓
↑
2 251.58 m
↓
S 22.857195°
E 29.794922°		 ← 2 251.36 m →
5 069 491 m²		 S 22.857195°
E 29.816894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582794189453125 y=0.565216064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582794189453125 × 214)
    floor (0.582794189453125 × 16384)
    floor (9548.5)     		tx = 9548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565216064453125 × 214)
    floor (0.565216064453125 × 16384)
    floor (9260.5)     		ty = 9260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9548 / 9260 ti = "14/9548/9260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9548/9260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9548 ÷ 214
    9548 ÷ 16384     		x = 0.582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9260 ÷ 214
    9260 ÷ 16384     		y = 0.565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.565185546875 × 2 - 1) × π
    -0.13037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.40957287035376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52001949} λ = 0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.40957287035376))-π/2
    2×atan(0.663933775379595)-π/2
    2×0.586108214692663-π/2
    1.17221642938533-1.57079632675     		φ = -0.39857990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39857990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.836946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9548 KachelY 9260 0.52001949 -0.39857990 29.794922 -22.836946
    Oben rechts KachelX + 1 9549 KachelY 9260 0.52040298 -0.39857990 29.816894 -22.836946
    Unten links KachelX 9548 KachelY + 1 9261 0.52001949 -0.39893331 29.794922 -22.857195
    Unten rechts KachelX + 1 9549 KachelY + 1 9261 0.52040298 -0.39893331 29.816894 -22.857195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39857990--0.39893331) × R
    0.000353409999999998 × 6371000     		dl = 2251.57510999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39857990--0.39893331) × R
    0.000353409999999998 × 6371000     		dr = 2251.57510999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52001949-0.52040298) × cos(-0.39857990) × R
    0.000383489999999931 × 0.921613078060589 × 6371000     		do = 2251.69870297465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52001949-0.52040298) × cos(-0.39893331) × R
    0.000383489999999931 × 0.921475858571429 × 6371000     		du = 2251.36344628926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39857990)-sin(-0.39893331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921613078060589-0.921475858571429)×R²
    abs(0.52040298-0.52001949)×0.000137219489160234×R²
    0.000383489999999931×0.000137219489160234×6371000²
    0.000383489999999931×0.000137219489160234×40589641000000     		ar = 5069491.37979775m²