Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9545 / 9290
↖ ↑ ↗
← S 23.443089°
E 29.729004°		 ← 2 241.60 m → S 23.443089°
E 29.750977°		 →
↑
2 241.38 m
↓
↑
2 241.38 m
↓
S 23.463246°
E 29.729004°		 ← 2 241.26 m →
5 023 897 m²		 S 23.463246°
E 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582611083984375 y=0.567047119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582611083984375 × 214)
    floor (0.582611083984375 × 16384)
    floor (9545.5)     		tx = 9545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567047119140625 × 214)
    floor (0.567047119140625 × 16384)
    floor (9290.5)     		ty = 9290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9545 / 9290 ti = "14/9545/9290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9545/9290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9545 ÷ 214
    9545 ÷ 16384     		x = 0.58258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9290 ÷ 214
    9290 ÷ 16384     		y = 0.5670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5670166015625 × 2 - 1) × π
    -0.134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.421077726262573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51886900} λ = 0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.421077726262573))-π/2
    2×atan(0.656339084642496)-π/2
    2×0.580818619060013-π/2
    1.16163723812003-1.57079632675     		φ = -0.40915909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40915909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.443089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9545 KachelY 9290 0.51886900 -0.40915909 29.729004 -23.443089
    Oben rechts KachelX + 1 9546 KachelY 9290 0.51925250 -0.40915909 29.750977 -23.443089
    Unten links KachelX 9545 KachelY + 1 9291 0.51886900 -0.40951090 29.729004 -23.463246
    Unten rechts KachelX + 1 9546 KachelY + 1 9291 0.51925250 -0.40951090 29.750977 -23.463246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40915909--0.40951090) × R
    0.000351810000000008 × 6371000     		dl = 2241.38151000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40915909--0.40951090) × R
    0.000351810000000008 × 6371000     		dr = 2241.38151000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(-0.40915909) × R
    0.000383499999999981 × 0.917455693085462 × 6371000     		do = 2241.5997696182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(-0.40951090) × R
    0.000383499999999981 × 0.917315672934875 × 6371000     		du = 2241.2576613947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40915909)-sin(-0.40951090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917455693085462-0.917315672934875)×R²
    abs(0.51925250-0.51886900)×0.000140020150586562×R²
    0.000383499999999981×0.000140020150586562×6371000²
    0.000383499999999981×0.000140020150586562×40589641000000     		ar = 5023896.9307368m²