Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9545 / 9288
↖ ↑ ↗
← S 23.402765°
E 29.729004°		 ← 2 242.28 m → S 23.402765°
E 29.750977°		 →
↑
2 242.08 m
↓
↑
2 242.08 m
↓
S 23.422928°
E 29.729004°		 ← 2 241.94 m →
5 027 001 m²		 S 23.422928°
E 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582611083984375 y=0.566925048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582611083984375 × 214)
    floor (0.582611083984375 × 16384)
    floor (9545.5)     		tx = 9545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566925048828125 × 214)
    floor (0.566925048828125 × 16384)
    floor (9288.5)     		ty = 9288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9545 / 9288 ti = "14/9545/9288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9545/9288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9545 ÷ 214
    9545 ÷ 16384     		x = 0.58258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9288 ÷ 214
    9288 ÷ 16384     		y = 0.56689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.420310735868652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51886900} λ = 0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.420310735868652))-π/2
    2×atan(0.656842683518634)-π/2
    2×0.581170512568187-π/2
    1.16234102513637-1.57079632675     		φ = -0.40845530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40845530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.402765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9545 KachelY 9288 0.51886900 -0.40845530 29.729004 -23.402765
    Oben rechts KachelX + 1 9546 KachelY 9288 0.51925250 -0.40845530 29.750977 -23.402765
    Unten links KachelX 9545 KachelY + 1 9289 0.51886900 -0.40880722 29.729004 -23.422928
    Unten rechts KachelX + 1 9546 KachelY + 1 9289 0.51925250 -0.40880722 29.750977 -23.422928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40845530--0.40880722) × R
    0.000351920000000006 × 6371000     		dl = 2242.08232000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40845530--0.40880722) × R
    0.000351920000000006 × 6371000     		dr = 2242.08232000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(-0.40845530) × R
    0.000383499999999981 × 0.917735460230772 × 6371000     		do = 2242.28331866934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(-0.40880722) × R
    0.000383499999999981 × 0.917595623533214 × 6371000     		du = 2241.94165867269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40845530)-sin(-0.40880722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917735460230772-0.917595623533214)×R²
    abs(0.51925250-0.51886900)×0.000139836697558127×R²
    0.000383499999999981×0.000139836697558127×6371000²
    0.000383499999999981×0.000139836697558127×40589641000000     		ar = 5027000.82218251m²