Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9545 / 9153
↖ ↑ ↗
← S 20.653346°
E 29.729004°		 ← 2 286.25 m → S 20.653346°
E 29.750977°		 →
↑
2 286.11 m
↓
↑
2 286.11 m
↓
S 20.673905°
E 29.729004°		 ← 2 285.94 m →
5 226 262 m²		 S 20.673905°
E 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582611083984375 y=0.558685302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582611083984375 × 214)
    floor (0.582611083984375 × 16384)
    floor (9545.5)     		tx = 9545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558685302734375 × 214)
    floor (0.558685302734375 × 16384)
    floor (9153.5)     		ty = 9153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9545 / 9153 ti = "14/9545/9153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9545/9153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9545 ÷ 214
    9545 ÷ 16384     		x = 0.58258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9153 ÷ 214
    9153 ÷ 16384     		y = 0.55865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55865478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1173095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.368538884278992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51886900} λ = 0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368538884278992))-π/2
    2×atan(0.691744311096372)-π/2
    2×0.605163717483369-π/2
    1.21032743496674-1.57079632675     		φ = -0.36046889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36046889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.653346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9545 KachelY 9153 0.51886900 -0.36046889 29.729004 -20.653346
    Oben rechts KachelX + 1 9546 KachelY 9153 0.51925250 -0.36046889 29.750977 -20.653346
    Unten links KachelX 9545 KachelY + 1 9154 0.51886900 -0.36082772 29.729004 -20.673905
    Unten rechts KachelX + 1 9546 KachelY + 1 9154 0.51925250 -0.36082772 29.750977 -20.673905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36046889--0.36082772) × R
    0.000358830000000032 × 6371000     		dl = 2286.1059300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36046889--0.36082772) × R
    0.000358830000000032 × 6371000     		dr = 2286.1059300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(-0.36046889) × R
    0.000383499999999981 × 0.935731542936626 × 6371000     		do = 2286.25276062877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51886900-0.51925250) × cos(-0.36082772) × R
    0.000383499999999981 × 0.935604918681879 × 6371000     		du = 2285.94338230957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36046889)-sin(-0.36082772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935731542936626-0.935604918681879)×R²
    abs(0.51925250-0.51886900)×0.000126624254746188×R²
    0.000383499999999981×0.000126624254746188×6371000²
    0.000383499999999981×0.000126624254746188×40589641000000     		ar = 5226262.41382513m²