Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9543 / 9155
↖ ↑ ↗
← S 20.694461°
E 29.685059°		 ← 2 285.63 m → S 20.694461°
E 29.707031°		 →
↑
2 285.47 m
↓
↑
2 285.47 m
↓
S 20.715015°
E 29.685059°		 ← 2 285.32 m →
5 223 391 m²		 S 20.715015°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582489013671875 y=0.558807373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582489013671875 × 214)
    floor (0.582489013671875 × 16384)
    floor (9543.5)     		tx = 9543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558807373046875 × 214)
    floor (0.558807373046875 × 16384)
    floor (9155.5)     		ty = 9155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9543 / 9155 ti = "14/9543/9155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9543/9155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9543 ÷ 214
    9543 ÷ 16384     		x = 0.58245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9155 ÷ 214
    9155 ÷ 16384     		y = 0.55877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58245849609375 × 2 - 1) × π
    0.1649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51810201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.1175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.369305874672913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51810201} λ = 0.51810201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369305874672913))-π/2
    2×atan(0.69121395327039)-π/2
    2×0.604804917496877-π/2
    1.20960983499375-1.57079632675     		φ = -0.36118649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51810201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.685059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36118649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.694461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9543 KachelY 9155 0.51810201 -0.36118649 29.685059 -20.694461
    Oben rechts KachelX + 1 9544 KachelY 9155 0.51848551 -0.36118649 29.707031 -20.694461
    Unten links KachelX 9543 KachelY + 1 9156 0.51810201 -0.36154522 29.685059 -20.715015
    Unten rechts KachelX + 1 9544 KachelY + 1 9156 0.51848551 -0.36154522 29.707031 -20.715015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36118649--0.36154522) × R
    0.000358729999999974 × 6371000     		dl = 2285.46882999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36118649--0.36154522) × R
    0.000358729999999974 × 6371000     		dr = 2285.46882999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51810201-0.51848551) × cos(-0.36118649) × R
    0.000383499999999981 × 0.935478195162677 × 6371000     		do = 2285.63376145966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51810201-0.51848551) × cos(-0.36154522) × R
    0.000383499999999981 × 0.935351365381345 × 6371000     		du = 2285.32388098177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36118649)-sin(-0.36154522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935478195162677-0.935351365381345)×R²
    abs(0.51848551-0.51810201)×0.000126829781331494×R²
    0.000383499999999981×0.000126829781331494×6371000²
    0.000383499999999981×0.000126829781331494×40589641000000     		ar = 5223390.66353926m²