Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9543 / 9151
↖ ↑ ↗
← S 20.612220°
E 29.685059°		 ← 2 286.87 m → S 20.612220°
E 29.707031°		 →
↑
2 286.68 m
↓
↑
2 286.68 m
↓
S 20.632784°
E 29.685059°		 ← 2 286.56 m →
5 228 987 m²		 S 20.632784°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582489013671875 y=0.558563232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582489013671875 × 214)
    floor (0.582489013671875 × 16384)
    floor (9543.5)     		tx = 9543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558563232421875 × 214)
    floor (0.558563232421875 × 16384)
    floor (9151.5)     		ty = 9151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9543 / 9151 ti = "14/9543/9151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9543/9151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9543 ÷ 214
    9543 ÷ 16384     		x = 0.58245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9151 ÷ 214
    9151 ÷ 16384     		y = 0.55853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58245849609375 × 2 - 1) × π
    0.1649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51810201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.1170654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.367771893885071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51810201} λ = 0.51810201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.367771893885071))-π/2
    2×atan(0.692275075857749)-π/2
    2×0.605522614548244-π/2
    1.21104522909649-1.57079632675     		φ = -0.35975110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51810201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.685059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35975110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.612220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9543 KachelY 9151 0.51810201 -0.35975110 29.685059 -20.612220
    Oben rechts KachelX + 1 9544 KachelY 9151 0.51848551 -0.35975110 29.707031 -20.612220
    Unten links KachelX 9543 KachelY + 1 9152 0.51810201 -0.36011002 29.685059 -20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 9544 KachelY + 1 9152 0.51848551 -0.36011002 29.707031 -20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35975110--0.36011002) × R
    0.000358919999999985 × 6371000     		dl = 2286.6793199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35975110--0.36011002) × R
    0.000358919999999985 × 6371000     		dr = 2286.6793199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51810201-0.51848551) × cos(-0.35975110) × R
    0.000383499999999981 × 0.935984475743722 × 6371000     		do = 2286.87074591829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51810201-0.51848551) × cos(-0.36011002) × R
    0.000383499999999981 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 2286.56187901065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35975110)-sin(-0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935984475743722-0.935858060802633)×R²
    abs(0.51848551-0.51810201)×0.000126414941088338×R²
    0.000383499999999981×0.000126414941088338×6371000²
    0.000383499999999981×0.000126414941088338×40589641000000     		ar = 5228986.95855413m²