Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9542 / 9147
↖ ↑ ↗
← S 20.529933°
E 29.663086°		 ← 2 288.04 m → S 20.529933°
E 29.685059°		 →
↑
2 287.89 m
↓
↑
2 287.89 m
↓
S 20.550509°
E 29.663086°		 ← 2 287.74 m →
5 234 441 m²		 S 20.550509°
E 29.685059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582427978515625 y=0.558319091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582427978515625 × 214)
    floor (0.582427978515625 × 16384)
    floor (9542.5)     		tx = 9542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558319091796875 × 214)
    floor (0.558319091796875 × 16384)
    floor (9147.5)     		ty = 9147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9542 / 9147 ti = "14/9542/9147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9542/9147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9542 ÷ 214
    9542 ÷ 16384     		x = 0.5823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9147 ÷ 214
    9147 ÷ 16384     		y = 0.55828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.1165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.366237913097229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51771852} λ = 0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366237913097229))-π/2
    2×atan(0.693337827435872)-π/2
    2×0.60624069927811-π/2
    1.21248139855622-1.57079632675     		φ = -0.35831493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35831493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.529933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9542 KachelY 9147 0.51771852 -0.35831493 29.663086 -20.529933
    Oben rechts KachelX + 1 9543 KachelY 9147 0.51810201 -0.35831493 29.685059 -20.529933
    Unten links KachelX 9542 KachelY + 1 9148 0.51771852 -0.35867404 29.663086 -20.550509
    Unten rechts KachelX + 1 9543 KachelY + 1 9148 0.51810201 -0.35867404 29.685059 -20.550509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35831493--0.35867404) × R
    0.000359110000000051 × 6371000     		dl = 2287.88981000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35831493--0.35867404) × R
    0.000359110000000051 × 6371000     		dr = 2287.88981000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51771852-0.51810201) × cos(-0.35831493) × R
    0.000383490000000042 × 0.936489101418373 × 6371000     		do = 2288.04402325943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51771852-0.51810201) × cos(-0.35867404) × R
    0.000383490000000042 × 0.936363102350712 × 6371000     		du = 2287.73618047379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35831493)-sin(-0.35867404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936489101418373-0.936363102350712)×R²
    abs(0.51810201-0.51771852)×0.000125999067660421×R²
    0.000383490000000042×0.000125999067660421×6371000²
    0.000383490000000042×0.000125999067660421×40589641000000     		ar = 5234440.50671365m²