Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9541 / 9148
↖ ↑ ↗
← S 20.550509°
E 29.641113°		 ← 2 287.80 m → S 20.550509°
E 29.663086°		 →
↑
2 287.63 m
↓
↑
2 287.63 m
↓
S 20.571082°
E 29.641113°		 ← 2 287.49 m →
5 233 289 m²		 S 20.571082°
E 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582366943359375 y=0.558380126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582366943359375 × 214)
    floor (0.582366943359375 × 16384)
    floor (9541.5)     		tx = 9541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558380126953125 × 214)
    floor (0.558380126953125 × 16384)
    floor (9148.5)     		ty = 9148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9541 / 9148 ti = "14/9541/9148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9541/9148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9541 ÷ 214
    9541 ÷ 16384     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9148 ÷ 214
    9148 ÷ 16384     		y = 0.558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.366621408294189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366621408294189))-π/2
    2×atan(0.693071986686763)-π/2
    2×0.606061141820308-π/2
    1.21212228364062-1.57079632675     		φ = -0.35867404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35867404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.550509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9541 KachelY 9148 0.51733502 -0.35867404 29.641113 -20.550509
    Oben rechts KachelX + 1 9542 KachelY 9148 0.51771852 -0.35867404 29.663086 -20.550509
    Unten links KachelX 9541 KachelY + 1 9149 0.51733502 -0.35903311 29.641113 -20.571082
    Unten rechts KachelX + 1 9542 KachelY + 1 9149 0.51771852 -0.35903311 29.663086 -20.571082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35867404--0.35903311) × R
    0.000359069999999961 × 6371000     		dl = 2287.63496999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35867404--0.35903311) × R
    0.000359069999999961 × 6371000     		dr = 2287.63496999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51771852) × cos(-0.35867404) × R
    0.000383499999999981 × 0.936363102350712 × 6371000     		do = 2287.79583616668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51771852) × cos(-0.35903311) × R
    0.000383499999999981 × 0.936236996584442 × 6371000     		du = 2287.48772465923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35867404)-sin(-0.35903311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936363102350712-0.936236996584442)×R²
    abs(0.51771852-0.51733502)×0.000126105766270257×R²
    0.000383499999999981×0.000126105766270257×6371000²
    0.000383499999999981×0.000126105766270257×40589641000000     		ar = 5233289.39193324m²