Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9532 / 9143
↖ ↑ ↗
← S 20.447603°
E 29.443359°		 ← 2 289.33 m → S 20.447603°
E 29.465332°		 →
↑
2 289.10 m
↓
↑
2 289.10 m
↓
S 20.468189°
E 29.443359°		 ← 2 289.03 m →
5 240 161 m²		 S 20.468189°
E 29.465332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581817626953125 y=0.558074951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581817626953125 × 214)
    floor (0.581817626953125 × 16384)
    floor (9532.5)     		tx = 9532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558074951171875 × 214)
    floor (0.558074951171875 × 16384)
    floor (9143.5)     		ty = 9143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9532 / 9143 ti = "14/9532/9143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9532/9143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9532 ÷ 214
    9532 ÷ 16384     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9143 ÷ 214
    9143 ÷ 16384     		y = 0.55804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.1160888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.364703932309387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.364703932309387))-π/2
    2×atan(0.694402210505516)-π/2
    2×0.60695917041398-π/2
    1.21391834082796-1.57079632675     		φ = -0.35687799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35687799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.447603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9532 KachelY 9143 0.51388356 -0.35687799 29.443359 -20.447603
    Oben rechts KachelX + 1 9533 KachelY 9143 0.51426706 -0.35687799 29.465332 -20.447603
    Unten links KachelX 9532 KachelY + 1 9144 0.51388356 -0.35723729 29.443359 -20.468189
    Unten rechts KachelX + 1 9533 KachelY + 1 9144 0.51426706 -0.35723729 29.465332 -20.468189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35687799--0.35723729) × R
    0.000359300000000007 × 6371000     		dl = 2289.10030000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35687799--0.35723729) × R
    0.000359300000000007 × 6371000     		dr = 2289.10030000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51426706) × cos(-0.35687799) × R
    0.000383499999999981 × 0.936992064505939 × 6371000     		do = 2289.33256587786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51426706) × cos(-0.35723729) × R
    0.000383499999999981 × 0.936866482341783 × 6371000     		du = 2289.0257336762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35687799)-sin(-0.35723729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936992064505939-0.936866482341783)×R²
    abs(0.51426706-0.51388356)×0.000125582164155924×R²
    0.000383499999999981×0.000125582164155924×6371000²
    0.000383499999999981×0.000125582164155924×40589641000000     		ar = 5240160.73488284m²