Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9531 / 9270
↖ ↑ ↗
← S 23.039298°
E 29.421387°		 ← 2 248.34 m → S 23.039298°
E 29.443359°		 →
↑
2 248.20 m
↓
↑
2 248.20 m
↓
S 23.059516°
E 29.421387°		 ← 2 248 m →
5 054 326 m²		 S 23.059516°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581756591796875 y=0.565826416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581756591796875 × 214)
    floor (0.581756591796875 × 16384)
    floor (9531.5)     		tx = 9531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565826416015625 × 214)
    floor (0.565826416015625 × 16384)
    floor (9270.5)     		ty = 9270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9531 / 9270 ti = "14/9531/9270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9531/9270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9531 ÷ 214
    9531 ÷ 16384     		x = 0.58172607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9270 ÷ 214
    9270 ÷ 16384     		y = 0.5657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58172607421875 × 2 - 1) × π
    0.1634521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51350007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.131591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.413407822323364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51350007} λ = 0.51350007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.413407822323364))-π/2
    2×atan(0.661392497194424)-π/2
    2×0.584342361879937-π/2
    1.16868472375987-1.57079632675     		φ = -0.40211160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51350007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.421387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40211160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.039298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9531 KachelY 9270 0.51350007 -0.40211160 29.421387 -23.039298
    Oben rechts KachelX + 1 9532 KachelY 9270 0.51388356 -0.40211160 29.443359 -23.039298
    Unten links KachelX 9531 KachelY + 1 9271 0.51350007 -0.40246448 29.421387 -23.059516
    Unten rechts KachelX + 1 9532 KachelY + 1 9271 0.51388356 -0.40246448 29.443359 -23.059516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40211160--0.40246448) × R
    0.00035288 × 6371000     		dl = 2248.19848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40211160--0.40246448) × R
    0.00035288 × 6371000     		dr = 2248.19848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51350007-0.51388356) × cos(-0.40211160) × R
    0.000383490000000042 × 0.920236645404605 × 6371000     		do = 2248.33578235276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51350007-0.51388356) × cos(-0.40246448) × R
    0.000383490000000042 × 0.920098484153116 × 6371000     		du = 2247.99822473972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40211160)-sin(-0.40246448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920236645404605-0.920098484153116)×R²
    abs(0.51388356-0.51350007)×0.000138161251489244×R²
    0.000383490000000042×0.000138161251489244×6371000²
    0.000383490000000042×0.000138161251489244×40589641000000     		ar = 5054325.69260752m²