Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9529 / 9289
↖ ↑ ↗
← S 23.422928°
E 29.377442°		 ← 2 241.88 m → S 23.422928°
E 29.399414°		 →
↑
2 241.76 m
↓
↑
2 241.76 m
↓
S 23.443089°
E 29.377442°		 ← 2 241.54 m →
5 025 389 m²		 S 23.443089°
E 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581634521484375 y=0.566986083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581634521484375 × 214)
    floor (0.581634521484375 × 16384)
    floor (9529.5)     		tx = 9529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566986083984375 × 214)
    floor (0.566986083984375 × 16384)
    floor (9289.5)     		ty = 9289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9529 / 9289 ti = "14/9529/9289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9529/9289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9529 ÷ 214
    9529 ÷ 16384     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9289 ÷ 214
    9289 ÷ 16384     		y = 0.56695556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56695556640625 × 2 - 1) × π
    -0.1339111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.420694231065613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.420694231065613))-π/2
    2×atan(0.656590835798628)-π/2
    2×0.580994552402986-π/2
    1.16198910480597-1.57079632675     		φ = -0.40880722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40880722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.422928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9529 KachelY 9289 0.51273308 -0.40880722 29.377442 -23.422928
    Oben rechts KachelX + 1 9530 KachelY 9289 0.51311657 -0.40880722 29.399414 -23.422928
    Unten links KachelX 9529 KachelY + 1 9290 0.51273308 -0.40915909 29.377442 -23.443089
    Unten rechts KachelX + 1 9530 KachelY + 1 9290 0.51311657 -0.40915909 29.399414 -23.443089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40880722--0.40915909) × R
    0.000351869999999976 × 6371000     		dl = 2241.76376999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40880722--0.40915909) × R
    0.000351869999999976 × 6371000     		dr = 2241.76376999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51311657) × cos(-0.40880722) × R
    0.000383490000000042 × 0.917595623533214 × 6371000     		do = 2241.88319865587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51311657) × cos(-0.40915909) × R
    0.000383490000000042 × 0.917455693085462 × 6371000     		du = 2241.54131851635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40880722)-sin(-0.40915909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917595623533214-0.917455693085462)×R²
    abs(0.51311657-0.51273308)×0.000139930447752179×R²
    0.000383490000000042×0.000139930447752179×6371000²
    0.000383490000000042×0.000139930447752179×40589641000000     		ar = 5025389.37591356m²